La construcción de un número en $\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} (q_k-\frac{\epsilon}{2^k},q_k+\frac{\epsilon}{2^k})$

Question

Tengo par de preguntas relacionadas con las propiedades de los números reales.

1. Mi primera pregunta es la siguiente. Deje $S_{\epsilon} = \displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty} \left( q_k-\frac{\epsilon}{2^{k+1}},q_k+\frac{\epsilon}{2^{k+1}} \right)$, donde todos los racionales son mencionados como $\{q_1,q_2,\ldots,q_n,\ldots\}$. La longitud de este conjunto está delimitado por $\epsilon$. Esto significa que hay un montón de irrationals no en el conjunto. ¿Cómo puedo construir explícitamente un número irracional no están en el juego? El número irracional dependerá de la forma en que me lista los racionales, pero una vez que la lista está dado yo debería ser capaz de construir un número irracional no en el conjunto.
2. Mi segunda pregunta es motivado por esta cuestión. Yo vine a saber que el conjunto de los racionales es no $G_{\delta}$. Sin embargo, consideremos esto. Vamos $$S_n = \bigcup_{k=1}^{\infty} \left(q_k - \frac{\epsilon}{2^{k+n+1}},q_k + \frac{\epsilon}{2^{k+n+1}} \right).$$ Clearly, $S_n$ is an open set and the length of $S_n$ is bounded by $\displaystyle \frac{\epsilon}{2^{n}}$. Let $$S = \bigcap_{n=1}^{\infty} S_n.$$ $S$ is a $G_{\delta}$ set and the length of $S$ is zero. Further, $\mathbb{Q} \subseteq S$. What other numbers are in $S$? How do I explicitly construct a number in $S \barra invertida \mathbb{Q}$? If there are no other numbers i.e. if $\mathbb{Q} = S$, then doesn't it imply that $\mathbb{Q}$ is a $G_{\delta}$ de?

Gracias, Adhvaitha

Answer 1

En respuesta a tu primera pregunta, cualquier algebraica irracional no es en $S_\varepsilon$ algunos $\varepsilon > 0$ si etiquetamos a los racionales, en orden creciente de la suma de sus numeradores y denominadores. Si $x\in S_{1/i}$ todos los $i\ge1$, entonces existe una secuencia infinita de racionales $q_{a_1}, q_{a_2}, ...$ tal que $x \in \left(q_{a_i}-\frac{1/i}{2^{a_i}},q_{a_i}+\frac{1/i}{2^{a_i}}\right)$. Nuestra elección de las garantías de orden que para todos los $q_k$ dentro de, digamos, a una distancia de $1$$x$, $k$ es exponencialmente relacionados con el denominador de $q_k$. Por lo tanto, el error de $q_{a_i}$ en la aproximación de $x$ es en la mayoría de las $2^{-poly(denominator(q_{a_i}))}$. Por el teorema de Liouville, esta secuencia de racionales se aproxima a $x$ demasiado bien para $x$ a ser algebraicas.

Esto también responde a la segunda pregunta. Cualquier trascendental $x$ con buen racional approximants será en $S$.

Answer 2

Voy a responder a la primera pregunta considerando un problema un poco diferente, donde es más fácil explícitamente la construcción de un número irracional no en $S_\epsilon$.

Es decir, considerar el intervalo de $(0,1)$. Organizar los números racionales $q_k$ dentro de él y "ampliar" cada una longitud $1/10^k$. En otras palabras, definir los intervalos de

$$ I_k := \left(q_k-\frac12\frac1{10^k}, q_k + \frac12\frac1{10^k}\right) .$$

Obviamente, el conjunto de

$$ S := \bigcup_{k=1}^\infty I_k .$$

contiene todos los números racionales, pero tiene la longitud en la mayoría de las $1/9$, por lo que debe existir un número $x\in (0,1)-S$.

La construcción de este número, observe las siguientes: si dividimos el intervalo (0,1) en diez partes iguales $(0,1/10)$, $(1/10,2/10)$, etc. hasta el $(9/10,1)$, entonces el primer intervalo de $I_1$ sólo puede encontrar en más de dos de estas piezas. En otras palabras, el número de $x$ está contenida en una de las partes, decir $(3/10,4/10)$. Ahora, otra vez podemos subdividir esta parte en diez partes iguales y de la misma manera encontramos que el intervalo de $I_2$ sólo puede intersecar dos de ellos.

La repetición de este procedimiento, obtenemos $x$ como un punto límite de una secuencia de intervalos anidados. Por otra parte, esta construcción hace que sea muy fácil para escribir la expansión decimal de $x$. Por ejemplo, si nos encargamos de los números racionales como

$$ q_k = 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, \dots $$

podemos optar $x = 0.3170\dots$ por ejemplo.