Evaluar el flujo del campo vectorial sin utilizar el teorema de la divergencia

Question

Dado $ F(x,y,z)=(z^2-x,-xy,3z)$ y $S$ es la superficie del sólido delimitada por las ecuaciones $z=4-y^2, x=0, x=3$ y $z=0$ con el vector normal exterior, evaluar $\iint_S F\cdot n \,ds$ sin utilizar El teorema de la divergencia.

Answer 1

Esto es lo que he probado:

Primero he dividido la superficie en 4 partes: a, b, c y d. Luego he trabajado con ellas por separado. El resultado es la suma de todas las integrales.

Superficie del cilindro (a):

$\alpha(x,y)=(x,y,4-y^2)$ con $0<x<3$ y $-2<y<2$

$\alpha_x = (1,0,0)$ y $\alpha_y = (0,1,-2y)$

Así que, $N=(0,2y,1)$ y $F(\alpha(x,y))=((4-y^2)^2-x,-xy,3(4-y^2))$ .

Entonces $\iint_a F \cdot n \,ds=\iint F(\alpha(x,y)) \cdot N \,dx\,dy=\iint-2xy^2+12-3y^2 \,dx\,dy = 48$

Superficie del culo (b):

$\alpha(x,y)=(x,y,0)$ con $0<x<3$ y $-2<y<2$

$F(\alpha(x,y))=(-x,-xy,0)$ y $N=(0,0,-1)$

Así que, $\iint_b F \cdot n \,ds =0$

Tapa con x=0 (c):

$\alpha(y,z)=(0,y,z)$ con $-2<y<2$ y $0<z<4-y^2$

$F(\alpha(y,z))=(z^2,0,3z)$ y $N=(-1,0,0)$

Así que, $\iint_c F \cdot n \,ds = \iint F(\alpha(y,z)) \cdot N \,dy\,dz = \iint -z^2 \,dy\,dz=-4096/105$

Tapa con x=3 (d):

$\alpha(y,z)=(3,y,z)$ con $-2<y<2$ y $0<z<4-y^2$

$F(\alpha(y,z))=(z^2-3,-3y,3z)$ y $N=(1,0,0)$

Así que, $\iint_c F \cdot n \,ds = \iint F(\alpha(y,z)) \cdot N \,dy\,dz = \iint z^2-3 \,dy\,dz=736/105$

Así,

$\iint_S F \cdot n \,ds = 48+0+736/105-4096/105=16$