¿Por qué m*(E) <= m*(En) si E = unión de(En)?

Question

Encontré una demostración de este teorema:

Supongamos que $\cup En = E$ y m*(E) es la medida exterior de E, entonces m*(E) <= $\sum m*(En)$.

Sea $\epsilon$ > 0. La demostración utiliza intervalos abiertos {Ik,n} y dice que para cada n, podemos encontrar un grupo de {Ik,n} tal que En $\subset Ik,n$.

Lo que entiendo es que {Ik,n} son algunos intervalos con radio creciente $\mathcal n$ que cubren En, ¿Si eso es correcto, cómo puede ser verdad la siguiente afirmación en la demostración?

La afirmación es que $\sum |Ik,n| <= m*(En) + \epsilon/2^n$ donde |Ik,n| es la longitud del Ik,n

Si En $\subset$ Ik,n, ¿cómo puede ser correcta la suma?

Answer 1

Por la definición de medida exterior $m^*(E_n)$ es el supremo de $\{ \sum_k |I_{k,n}| : \bigcup_k I_{k,n}$ cubre $E_n \}$.

Así que para cualquier $\epsilon$ positivo, podemos encontrar algún conjunto de intervalos $\{ I_{k,n} \}$ tal que $\sum_k |I_{k,n}| : \bigcup_k I_{k,n} \le m^*(E_n) + \epsilon$.

Ahora, $\epsilon / 2^k$ es positivo, por lo que podemos encontrar un conjunto similar de intervalos que satisface la desigualdad para $\epsilon / 2^k$ en lugar de $\epsilon$.