cómo demostrar que la imagen de un bucle es todo el espacio

Question

Demuestre que existe un bucle $\gamma:[0,1]\rightarrow S^2$ tal que la imagen de $\gamma$ es todo el $S^2$

no puedo probarlo de forma exactamente correcta, ¿alguien podría ayudarme?

Answer 1

Sugerencia Piensa en la curva de llenado del espacio (que es un ejemplo famoso en topología).

Answer 2

El Curva de Peano en particular, o curvas de llenado de espacio en general, son ejemplos de este tipo de fenómeno...

A ver si puedes trasladar estas ideas a la esfera...

(Ya que $S^2$ es homeomorfo a $\mathbb R^2\cup \infty$ estás bien encaminado. ..)

Por ejemplo, debería ser capaz de encontrar una curva de $(0,1)$ a $\mathbb R^2$ . Entonces para su bucle, $\gamma$ , se extienden por el mapeo $0$ y $1$ al polo norte (punto en el infinito)