Funciones invertibles en un subconjunto abierto de una curva hiperelíptica

Question

Dejemos que $C \to \mathbf P^1$ sea una curva hiperelíptica de género $g \ge 2$ obtenida como una cubierta doble de $\mathbf P^1$ se ramificó en $r$ puntos. Sea $\tilde U\subset C$ sea su subconjunto abierto obtenido eliminando todos los puntos de ramificación y $U\subset \mathbf P^1$ su preimagen bajo el mapa de doble cobertura. ¿Qué son las funciones invertibles sobre $\tilde U$ ? En otras palabras, necesito calcular $H^0(\tilde U, \mathbf G_m)$ .

Seguramente es posible extraer cualquier función invertible de $\mathbf P^1$ , por lo que tenemos al menos el grupo $H^0(U, \mathbf G_m) = \mathbf C^\times \times \mathbf Z^{r-1}$ . ¿Hay algún otro? Si no es así, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Como usted escribió $\mathbb{C}^*$ asumiré que estás en la característica cero. Entonces $r=2g+2$ y el grupo que se desea (módulo de constantes) tiene rango $r-1$ pero es mayor que el grupo que viene de $\mathbb{P}^1$ . Si la curva viene dada por $y^2=f(x)=\prod (x-a_i), \deg f = 2g+1$ entonces $y$ también está en su grupo. Creo que eso es todo, el grupo módulo de constantes es generado por $y,x-a_1,x-a_2,\ldots$ sujeta a la relación $y^2=f(x)$ . Sí, se puede demostrar que no hay más funciones utilizando el teorema de Clifford.