Densidad de puntos algebraicos dentro de una variedad

Question

Quiero utilizar la siguiente afirmación relativa a las variedades, pero no sé por qué es cierta.

Reclamación . Dejemos que $V \subset \mathbb{C}^n$ sea una variedad definida sobre $\mathbb{Q}$ . Entonces el conjunto $V \cap \bar{\mathbb{Q}}$ es denso en $V$ con respecto a la topología de Hausdorff (no a la de Zariski).

Aquí, $\bar{\mathbb{Q}}$ denota el cierre algebraico de los racionales $\mathbb{Q}$ .

Me señalaron que se puede demostrar esto usando el llamado Principio de Tarski-Seidenberg, en particular usando la Proposición 5.3.5 de Geometría Algebraica Real de Bochnak, Coste, Roy.

Dejemos que $R$ sea un campo real cerrado, $A\subset R^m$ y $B\subset R^n$ conjuntos semialgebraicos, y $f:A\to B$ un mapa semialgebraico con gráfico $G\subset A\times B$ . Dejemos que $K$ sea una extensión real cerrada de $R$ y denotar la extensión de un conjunto semialgebraico $S$ definido sobre $R$ a $K$ como $S_K$ .

Propuesta 5.3.5

i) El conjunto semialgebraico $A$ es abierto (resp. cerrado) en $R^m$ si $A_K$ es abierto (resp. cerrado) en $K^m$ . De manera más general, $clos(A_K)=(clos(A))_K$ .

ii) La cartografía semialgebraica $f$ es continua si $f_k$ es continua.

No veo cómo se deduce mi afirmación. ¿Alguien tiene experiencia en la aplicación de este principio a este tipo de situaciones? ¿O puede pensar en otro enfoque que conduzca a una prueba de la afirmación?

Answer 1

Una prueba desarrollada originalmente en los comentarios:

Dejemos que $\Bbb R_{alg}$ denotan el conjunto de números algebraicos reales. Sea $z_j$ sean las coordenadas en $\Bbb C^n$ . Escriba $z_j=x_j+iy_j$ que identifica $\Bbb C^n$ con $\Bbb R^{2n}$ e identifica el $\overline{\Bbb Q}$ puntos de $V$ con el $\Bbb R_{alg}$ puntos del conjunto semialgebraico dado por todos los puntos de $V$ bajo la identificación de $\Bbb C^n$ con $\Bbb R^{2n}$ .

A partir de aquí, si se puede demostrar que el $\Bbb R_{alg}$ puntos de un conjunto semialgebraico $S\subset \Bbb R_{alg}^n$ son densos en el $\Bbb R$ puntos, entonces todo está bien. Mediante una descomposición de celdas, podemos obtener una lista finita de homeomorfismos semialgebraicos de $(0,1)^d$ con subconjuntos semialgebraicos de $S$ con cada mapa definido sobre $\Bbb R_{alg}$ . Entonces el problema se reduce a demostrar que el $\Bbb R_{alg}$ puntos de $(0,1)^d$ son densos en el $\Bbb R$ puntos de $(0,1)^d$ que es claro como $\Bbb Q\subset \Bbb R_{alg}$ y el $\Bbb Q$ puntos son claramente densos en $(0,1)^d$ .

Esto parece poco elegante, pero funciona.

Alternativamente, retomando el punto en el que tenemos que demostrar que el $\Bbb R_{alg}$ los puntos son densos en el $\Bbb R$ puntos: Supongamos que hay un punto en $S(\Bbb R)$ que no estaba en el cierre de $S(\Bbb R_{alg})$ . Entonces este punto no puede estar en ninguna de las componentes semialgebraicas de $S(\Bbb R_{alg})$ Así, mediante una cuidadosa selección de los componentes de $S$ se obtendría un conjunto conectado semialgebraicamente sobre $\Bbb R_{alg}$ pero semialgebraicamente desconectado sobre $\Bbb R$ lo que viola la proposición 5.3.6, un corolario directo de 5.3.5. (También debo mencionar que los autores del libro demuestran esta afirmación esencialmente por descomposición de celdas, así que es el mismo argumento que la primera parte de este post, sólo que con un final diferente).