Stein and Shakarchi (2009) define la integral de Lebesgue de las funciones simples en la forma canónica como se muestra a continuación:
$$\int_{\mathbb{R}^d}\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k=1}^M c_k\chi_{F_k}(x)dx=\sum_{k=1}^M c_k\mu(F_k).$$
Mi pregunta:
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¿La interpretación de la "definición" de Stein y Shakarchi (2009) es: cuando "integramos de Lebesgue" una función simple en la forma canónica, simplemente asignamos la medida en la función característica $F_k$ para cada $k$ y los sumamos. Entonces esto simplemente se convierte en una suma finita de medidas de cada conjunto medible multiplicado por alguna constante. ¿Es esto correcto?
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¿Estamos realizando este proceso intermedio?
$$\int_{\mathbb{R}^d}\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k=1}^M c_k\chi_{F_k}(x)dx=\sum_{k=1}^M c_k\int_{\mathbb{R}^d} \chi_{F_k}(x)dx=\sum_{k=1}^M c_k\mu(F_k).$$
En otras palabras,
$$\int_{\mathbb{R}^d} \chi_{F_k}(x)dx=\mu(F_k)?$$
Referencia: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Elias M. Stein, Rami Shakarchi. Princeton University Press, 2009.
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Bueno, por ejemplo si $F_1=(0,1)$, $F_2=(1,2)$, $c_1=1$ y $c_2=2$ entonces $$ \int_{\mathbb R} \varphi(x)\ \mathsf dx = \sum_{k=1}^2 c_k\mu(F_k) = 1\cdot \mu((0,1)) + 2\cdot\mu((0,2)) = 5. $$
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Tienes un error tipográfico en el RHS de la primera expresión, nota que cambiaste $M$ por infinito. Y sí, tu interpretación es correcta pero solo para funciones medibles simples
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@Masacroso Añadí una pregunta más específica ya que eso es lo que originalmente estaba preguntando.
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@Masacroso ¡Excelente! ¡Gracias!
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