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Integral de Lebesgue para Funciones Simples: definición

Stein and Shakarchi (2009) define la integral de Lebesgue de las funciones simples en la forma canónica como se muestra a continuación:

$$\int_{\mathbb{R}^d}\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k=1}^M c_k\chi_{F_k}(x)dx=\sum_{k=1}^M c_k\mu(F_k).$$

Mi pregunta:

  1. ¿La interpretación de la "definición" de Stein y Shakarchi (2009) es: cuando "integramos de Lebesgue" una función simple en la forma canónica, simplemente asignamos la medida en la función característica $F_k$ para cada $k$ y los sumamos. Entonces esto simplemente se convierte en una suma finita de medidas de cada conjunto medible multiplicado por alguna constante. ¿Es esto correcto?

  2. ¿Estamos realizando este proceso intermedio?

$$\int_{\mathbb{R}^d}\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k=1}^M c_k\chi_{F_k}(x)dx=\sum_{k=1}^M c_k\int_{\mathbb{R}^d} \chi_{F_k}(x)dx=\sum_{k=1}^M c_k\mu(F_k).$$

En otras palabras,

$$\int_{\mathbb{R}^d} \chi_{F_k}(x)dx=\mu(F_k)?$$

Referencia: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Elias M. Stein, Rami Shakarchi. Princeton University Press, 2009.

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Bueno, por ejemplo si $F_1=(0,1)$, $F_2=(1,2)$, $c_1=1$ y $c_2=2$ entonces $$ \int_{\mathbb R} \varphi(x)\ \mathsf dx = \sum_{k=1}^2 c_k\mu(F_k) = 1\cdot \mu((0,1)) + 2\cdot\mu((0,2)) = 5. $$

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Tienes un error tipográfico en el RHS de la primera expresión, nota que cambiaste $M$ por infinito. Y sí, tu interpretación es correcta pero solo para funciones medibles simples

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@Masacroso Añadí una pregunta más específica ya que eso es lo que originalmente estaba preguntando.

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Masacroso Puntos 1080

Como se sugirió, escribiré una respuesta en lugar de un comentario. El signo igual en la siguiente expresión, tal como se presenta en el libro, representa una definición

$$ \int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k=1}^M c_k\chi_{F_k}(x)dx=\sum_{k=1}^M c_k\mu(F_k)\tag1 $$

Entonces, no hay un "proceso intermedio" en absoluto porque una definición no necesita ser demostrada, es simplemente una forma de darle un nombre a alguna notación matemática. En $\rm (1)$ lo que se escribe en el LHS son símbolos que se declaran como una representación equivalente a la expresión en el RHS.

Para evitar este tipo de confusión, y ser crystal clear de que un signo de igual representa una definición, los matemáticos suelen usar una variación del signo igual como $:=$, o $\overset{\rm def}{=}$, o $\overset{\triangle }{=}$, etc...

Sin embargo, usando $\rm (1)$, puedes demostrar fácilmente que la siguiente igualdad se cumple mediante inducción en $M$ porque cada $\chi_{F_k}$ es una función simple:

$$ \int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k=1}^M c_k\chi_{F_k}(x)dx=\sum_{k=1}^Mc_k\int_{\mathbb{R}^d} \chi_{F_k}(x)dx\tag2 $$

NOTA: en matemáticas, un signo igual puede representar muchas cosas diferentes (pero no necesariamente mutuamente excluyentes) dependiendo del contexto: puede representar una ecuación, una igualdad entre fórmulas, una definición, y a veces también inclusión de conjuntos.

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