Primera nota de que
$$\sum_{n=0}^\infty\frac{\Gamma\!\left(n+\tfrac14\right)}{2^n\,(4n+1)^2\,n!}=\Gamma\left(\frac14\right){}_3F_2\biggl[ \begin{array}{c}\frac14,\frac14,\frac14 \\ \frac54,\frac54\end{array};\frac12\biggr]$$
Vamos a obtener una "primaria" expresión de ${}_3F_2\biggl[ \begin{array}{c}\frac14,\frac14,\frac14 \\ \frac54,\frac54\end{array};z\biggr]$ arbitrarias $z$ utilizando como herramienta principal la diferenciación de la fórmula
\begin{align}\left(z\frac{d}{dz}+\beta_k-1\right){}_pF_q\biggl[
\begin{array}{c}\alpha_1,\ldots,\alpha_p \\
\beta_1,\ldots,\beta_k,\ldots,\beta_q\end{array};z\biggr]&=\\
=\left(\beta_k-1\right)
{}_pF_q\biggl[
\begin{array}{c}\alpha_1,\ldots,\alpha_p \\
\beta_1,\ldots,\beta_k-1,\ldots,\beta_q\end{array};z\biggr]&.
\etiqueta{$\spadesuit$}\end{align}
Lema 1. Tenemos $${}_2F_1\biggl[ \begin{array}{c}\frac14,\frac14 \\ \frac54\end{array};z\biggr]= \frac{z^{-\frac14}}4\left[e^{\frac{\pi i}4}\ln\frac{1+e^{-\frac{\pi i}4}t(z)}{1-e^{-\frac{\pi i}4}t(z)}+e^{-\frac{\pi i}4}\ln\frac{1+e^{\frac{\pi i}4}t(z)}{1-e^{-\frac{\pi i}4}t(z)}\right], \tag{$\clubsuit$}$$ donde
$t(z)=\left(\frac{z}{1-z}\right)^{\frac14}$.
Prueba. Configuración en ($\spadesuit$) $p=2$, $q=1$, $\alpha_1=\alpha_2=\frac14$, $\beta_1=\frac54$, tenemos
$$\left(z\frac{d}{dz}+\frac14\right){}_2F_1\biggl[
\begin{array}{c}\frac14,\frac14 \\
\frac54\end{array};z\biggr]=\frac14{}_2F_1\biggl[
\begin{array}{c}\frac14,\frac14 \\
\frac14\end{array};z\biggr]=\frac{\left(1-z\right)^{-\frac14}}{4}.$$
El resultado de 1er orden ODE $zy'+\frac y4=\frac{\left(1-z\right)^{-\frac14}}{4}$ puede ser integrado por la variación de la constante de integración: establecimiento $y(z)=C(z)z^{-\frac14}$, se obtiene
$$C'(z)=\frac{z^{-\frac34}\left(1-z\right)^{-\frac14}}{4}\qquad \Longrightarrow\quad C(z)=\frac14\int z^{-\frac34}\left(1-z\right)^{-\frac14}dz.$$
La antiderivada puede ser calculado en términos de funciones elementales: establecimiento $$z=\frac{t^4}{1+t^4},\qquad 1-z=\frac{1}{1+t^4},\qquad dz=\frac{4t^3dt}{(1+t^4)^2},\qquad t=\left(\frac{z}{1-z}\right)^{\frac14},$$
tenemos
$$C(z)=\int\frac{dt}{1+t^4}=\frac14\left[e^{\frac{\pi i}4}\ln\frac{1+e^{-\frac{\pi i}4}t}{1-e^{-\frac{\pi i}4}t}+e^{-\frac{\pi i}4}\ln\frac{1+e^{\frac{\pi i}4}t}{1-e^{-\frac{\pi i}4}t}\right]+\operatorname{const}.$$
La fijación de la integración constante a través de la condición ${}_2F_1\biggl[
\begin{array}{c}\frac14,\frac14 \\
\frac54\end{array};0\biggr]=1$ (in fact it suffices to know that ${}_2F_1$ is regular as $z\a 0$), we arrive at the representation ($\clubsuit$). In Prudnikov et al there is a formula (7.3.2.66, Vol. III) from which one should in principle be able to derive the same result after transformation of parameters. $\square$
Lema 2. Tenemos \begin{align}{}_3F_2\biggl[ \begin{array}{c}\frac14,\frac14,\frac14 \\ \frac54,\frac54\end{array};z\biggr]&=\frac{z^{-\frac14}}{4}\Biggl\{\int_0^{t(z)}\frac{\ln\left(1+t^{-4}\right)dt}{1+t^4} +\Biggr.\la etiqueta{$\heartsuit$}
\\ &+\Biggl.\frac{\ln z}{4}\left[e^{\frac{\pi i}4}\ln\frac{1+e^{-\frac{\pi i}4}t(z)}{1-e^{-\frac{\pi i}4}t(z)}+e^{-\frac{\pi i}4}\ln\frac{1+e^{\frac{\pi i}4}t(z)}{1-e^{-\frac{\pi i}4}t(z)}\right]\Biggr\},
\end{align}
donde $t(z)=\left(\frac{z}{1-z}\right)^{\frac14}$.
Prueba. El mismo procedimiento: ajuste en ($\spadesuit$) $p=3$, $q=2$, $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\frac14$, $\beta_1=\beta_2=\frac54$, tenemos
$$\left(z\frac{d}{dz}+\frac14\right){}_3F_2\biggl[
\begin{array}{c}\frac14,\frac14 ,\frac14\\
\frac54,\frac54\end{array};z\biggr]=\frac14{}_3F_2\biggl[
\begin{array}{c}\frac14,\frac14,\frac14 \\
\frac54,\frac14\end{array};z\biggr]=\frac14{}_2F_1\biggl[
\begin{array}{c}\frac14,\frac14\\
\frac54\end{array};z\biggr],$$
que a su vez implica que
$${}_3F_2\biggl[
\begin{array}{c}\frac14,\frac14 ,\frac14\\
\frac54,\frac54\end{array};z\biggr]=\frac{z^{-\frac14}}{4}\int_0^{z}^{- \frac34}{}_2F_1\biggl[
\begin{array}{c}\frac14,\frac14\\
\frac54\end{array};s\biggr]\,ds.$$
Sustituyendo en esta expresión la representación que se encuentran en el Lema 1 y haciendo el cambio de variables $s\to t(s)=\left(\frac{s}{1-s}\right)^{\frac14}$, llegamos a
$${}_3F_2\biggl[
\begin{array}{c}\frac14,\frac14 ,\frac14\\
\frac54,\frac54\end{array};z\biggr]=\frac{z^{-\frac14}}{4}\int_0^{t(z)}\left[e^{\frac{\pi i}4}\ln\frac{1+e^{-\frac{\pi i}4}t}{1-e^{-\frac{\pi i}4}t}+e^{-\frac{\pi i}4}\ln\frac{1+e^{\frac{\pi i}4}t}{1-e^{-\frac{\pi i}4}t}\right]\frac{dt}{t\left(1+t^4\right)}.$$
Esto claramente puede ser integrado en términos de dilogarithms. Es conveniente integrar en primer lugar por las partes que el uso de la derivada de la expresión entre corchetes es $\frac4{1+t^4}$, lo que produce ($\heartsuit$). $\square$
Corolario. Función hipergeométrica ${}_3F_2\biggl[ \begin{array}{c}\frac14,\frac14,\frac14 \\ \frac54,\frac54\end{array};z\biggr]$ tiene una expresión explícita en términos de funciones elementales y dilogarithms, que debe entregar el original de la declaración como un caso particular correspondiente a $z=\frac12$.
Prueba. Basta para calcular de forma explícita la integral a partir de la primera línea de ($\heartsuit$). Desde la anti-derivada (por ejemplo, comprobar WolframAlpha) está dada por una bastante larga de expresión, no está escrito aquí. La fórmula resultante, sin embargo, debe simplificar vinculados a la expresión de la actualización de @VladimirReshetnikov. $\square$
