Prueba la convergencia de esta integral impropia

Question

Me gustaría probar $$\int_{1}^{\infty}\frac{\cos x}{x}dx$$ converge estableciendo primero la convergencia de la integral impropia de $$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}dx$$ Esto último es fácil, pero ¿cuál es la relación con lo primero? Muchas gracias.

Answer 1

Sugerencia: utilice la integración por partes, con $u = \frac{1}{x}$ y $dv = \cos(x)dx$ . Obtendrás un término cuyo límite sabes evaluar, y un término integral que puede ser acotado por $$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}dx$$ Si necesita más ayuda, no dude en pedirla.