Son $h_i(x)=x^{-\alpha_i}$ ¿funciones de base adecuadas para el ajuste?

Question

Tengo algunos pares de datos ${(x_1,y_1),..., (x_n,y_n)}$ genere por algún proceso y quisiera ajustarlo con una función para que $y_i \approx \hat{f}(x_i)$ .

Al trazar el $(X,Y)$ en un gráfico 2D, y a ojo, encontramos que la relación de los datos es monotónicamente decreciente, y la forma es similar a $y=x^{-\alpha}$ donde $0<\alpha<1$ .

La idea entonces es utilizar la suma de una serie de funciones base para ajustar los datos. En otras palabras, dejemos que $\hat{f}(x)=\sum_{i=1}^m \beta_i h_i(x)$ donde $h_i(x)= x^{-\alpha_i}$ para un conjunto de $\alpha$ 's - ${\alpha_1, \alpha_2..., \alpha_m}$ , donde $0<\alpha_i<1$ . Podemos entonces ajustar los datos y encontrar el $\beta_1,.., \beta_m$ con mínimos cuadrados.

Mi pregunta es entonces si las funciones base $h(x)=x^{-\alpha_i}$ están bien para usar? ¿Tengo que mejorar de alguna manera la función de base? ¿Hay alguna idea mejor?

Answer 1

No estoy seguro de entender bien su pregunta. Los datos dados son $$(x_1,y_1),...,(x_k,y_k),...,(x_n,y_n)$$ Se desea ajustar aproximadamente la función : $$y(x)=\sum_{i=1}^m\beta_i x^{\alpha_i}$$ que es : $$y_k\simeq\sum_{i=1}^m\beta_i x_k^{\alpha_i}+\epsilon_k$$

y has escrito "para un conjunto de $\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_m\:$ ".

Esto hace pensar que $\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_m$ son conocidos (dados o elegidos a-priori). ¿Es cierto?

Si no es TRUE, el $\alpha_i$ tienen que ser optimizados. El problema no es fácil. Hay algunos métodos que podríamos discutir más adelante.

Si es TRUE, la solución es muy fácil porque la regresión es lineal (con respecto a las incógnitas $\beta_i$ ) :