¿Son todas las medidas difusas 0-1 en la cola del campo sigma?

Question

Más concretamente: dejemos $\Omega$ sea el conjunto de cadenas binarias infinitas, y $\mathcal{F}$ el álgebra de Borel. Sea $X_n$ sea el mapa que proyecta cada cadena a su n-ésima coordenada. Sea $\mathcal{G}_n=\sigma\{X_m: m\geq n\}$ . El campo sigma de cola en este caso viene dado por $\mathcal{T}=\bigcap_n\mathcal{G}_n$ . Entiendo que la ley 0-1 de Kolmogorov dice que si $X_i$ son independientes según $P$ (así $P$ es alguna medida para infinitos lanzamientos de moneda iid), entonces $P$ es 0-1 en $\mathcal{T}$ . Tengo curiosidad por saber si existe alguna extensión de este resultado a otras medidas difusas. En particular, supongamos que $\mu$ es una medida de probabilidad sobre $\mathcal{F}$ que satisface $\mu\{x\}=0$ para todos $x$ . ¿Es necesario que $\mu$ ser 0-1 en $\mathcal{T}$ ? (Mi corazonada dice que no, pero me está costando encontrar un contraejemplo, en parte porque no conozco ninguna construcción específica de medidas difusas en este espacio que no sea tomar combinaciones convexas de las medidas de las monedas...) Cualquier indicación sería muy apreciada.

Answer 1

La respuesta es no, y tu idea de combinación convexa ya funciona. Dejemos que $P_1$ sea la medida en la que las monedas son independientes y cada una sale cara con probabilidad $1/2$ . Dejemos que $P_2$ ser similares pero las monedas salen caras con probabilidad $2/3$ . Ambas medidas son difusas. Si $A$ es el evento de cola en el que la mitad de las tiradas, por término medio, son caras (es decir $A=\{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (X_1 + \dots + X_n) = \frac{1}{2}\}$ ), entonces se sabe por la ley fuerte de los grandes números que $P_1(A) = 1$ y $P_2(A)=0$ . Dejemos que $Q = \frac{1}{2} P_1 + \frac{1}{2} P_2$ . Entonces $Q$ también es difusa y $Q(A) = \frac{1}{2}$ .