Función y serie Maclaurin

Question

Función $f(x)=\frac{x^2+3\cdot\ e^x}{e^{2x}}$ necesitan desarrollarse en la serie Maclaurin.

No encuentro ninguna regla para sumar todas las fracciones que tengo... ¿alguna sugerencia que ayude?

Gracias

Answer 1

Una pista: ¿Conoce la expansión para $e^{-2x}$ y $e^{-x}$ ? ¿Se puede multiplicar una serie de potencias por $x^2$ y por $3$ ? Si es así, tienes las herramientas. Sólo hay que dar la serie para $x^2e^{-2x}+3e^{-x}$

Answer 2

Una pista: $$ f(x)=\frac{x^2+3\cdot\ e^x}{e^{2x}} = f(x)={x^2e^{-2x}+3 \ e^{-x}} $$

$$ = x^2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-2x)^k}{k!}+\dots .$$

Añadido:

$$ x^2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-2x)^k}{k!}= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-2)^k x^{k+2}}{k!}=\frac{1}{4}\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-2)^k x^{k}}{(k-2)!} .$$

Ahora, haz lo mismo con el otro término.