Distribución de la variable aleatoria Bernoulli y Uniforme

Question

Aquí hay un problema en el que estoy atascado:

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias independientes tales que $X$ tiene una distribución Bernoulli con $p=1/2$ y $Y$ se distribuye uniformemente en el intervalo $[0,1]$ . Entonces:

1. ¿Cuál es la FCD y la FDP de $X+Y$ ?
2. ¿El PDF de $XY$ ¿Existe?
3. ¿Cuál es la FCD de $XY$ ?

Intenté encontrar el CDF de $X+Y$ condicionando a $X$ según esta respuesta pero no he podido llegar más lejos. ¿Puede alguien mostrarme qué hacer o cómo hacerlo?

Answer 1

En 1)

Dejemos que $W:=X+Y$ . Entonces:

$$F_{W}\left(w\right)=P\left(X+Y\leq w\mid X=0\right)P\left(X=0\right)+P\left(X+Y\leq w\mid X=1\right)P\left(X=1\right)=$$$$\frac {1}{2}F_{Y} \left (w \right )+ \frac {1}{2}F_{Y} \left (w-1 \right )$$

Aquí $F_{Y}$ es bien conocido por usted y conociendo el CDF $F_{W}$ puedes encontrar el PDF $f_{W}$ .

En 2)

$X=0\Rightarrow XY=0$ para que $P\left\{ XY=0\right\} \geq P\left\{ X=0\right\} \geq\frac{1}{2}$ . Saque sus conclusiones sobre la existencia de un PDF.

En 3)

Dejemos que $V:=XY$ . Entonces:

$$F_{V}\left(v\right)=P\left(XY\leq v\mid X=0\right)P\left(X=0\right)+P\left(XY\leq v\mid X=1\right)P\left(X=1\right)=$$$$\frac {1}{2}P \left (0 \leq v \right )+ \frac {1}{2}F_{Y} \left (v \right )$$

Aquí $P\left(0\leq v\right)=0$ si $v<0$ y $P\left(0\leq v\right)=1$ de lo contrario.