Modelos existencialmente cerrados de grafos sin arcos

Question

Configuración

Definición(1). $\mathcal{M} \models T$ es un modelo existencialmente cerrado (e.c.) de $T$ si siempre que $\mathcal{N} \models T$ , $\mathcal{N} \supseteq \mathcal{M}$ y $\mathcal{N}\models \exists \bar{v} \phi(\bar{v},\bar{a})$ , donde $\bar{a} \in M$ y $\phi$ es una fórmula sin cuantificador, entonces $\mathcal{M} \models \exists \bar{v} \phi(\bar{v},\bar{a})$ .

Definición(2). Dejemos que $T$ ser una teoría. Una teoría $T^*$ se denomina compañero de modelo de $T$ si $$\mathcal{M}\models T^* \text{ iff } \mathcal{M} \text{ is an e.c. model of } T$$

Así que $T^*= \bigcap_{\mathcal{M} \text{ is e.c.} } Th(\mathcal{M})$ , donde $Th(\mathcal{M})$ es la teoría completa de $\mathcal{M}$ .

Caso de estudio

Dejemos que $T$ sea la teoría de los grafos sin arcos (es decir $T$ es la teoría de los grafos más el axioma que expresa que cada cinco puntos no forman una pajarita), y $mod(T)$ sea la clase de todos los modelos de $T$ .

Pregunta(1). Es $mod(T)$ cerrado bajo la unión de la cadena? (equivalentemente podemos preguntar, ¿ $T$ tienen $\forall\exists$ -(¿axiomatización?)

Si la respuesta a la primera pregunta es positiva, podemos formular las siguientes preguntas.

Pregunta(2). ¿Cuáles son las $e.c.$ modelos de $T$ ?

Pregunta(3). En $T$ ¿tiene modelo-compañero?

Answer 1

La respuesta a la pregunta (3) es sí. Este es un teorema de Cherlin, Shelah y Shi en el documento Grafos universales con subgrafos prohibidos y cierre algebraico . Más generalmente, demuestran (Teorema 1) que para cualquier conjunto finito $\mathcal{F}$ de grafos finitos, la teoría de $\mathcal{F}$ -sin grafos tiene un compañero de modelo.

La demostración del Teorema 1 es bastante constructiva, por lo que se puede extraer una axiomatización del compañero de modelo de la demostración. Esta axiomatización responderá a la pregunta (2), pero tal vez no de una manera que usted encuentre satisfactoria. Lo mejor que puedes esperar en una respuesta a la pregunta (2) es una reducción de la definición general de existencialmente cerrado a un conjunto más concreto de instancias de cierre existencial, en forma de "axiomas de extensión".