Polinomios aniquiladores de matrices no diagnosticables

Question

Por cada no diagonalizable matriz en $M_n(\mathbb{F})$ hay un polinomio $P(t)$ con coeficientes sobre $\mathbb{F}$ y de grado $n-1$ como $P(A)^2=0$ .

¿Es cierta la afirmación anterior para $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ o $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ ? ¿O ninguno de ellos?

¿Cómo puedo saber si esto es cierto para cualquier campo?

Answer 1

Esto es cierto si el campo es algebraicamente cerrado. Para campos no cerrados algebraicamente, cualquier matriz (al menos de tamaño 2x2) con un polinomio característico irreducible es un contraejemplo.