Rastro no cero en campos finitos y demostración de irreducibilidad.

Question

Si definimos que la traza es $x+x^p+\cdots+x^{p^{n-1}}$ . ¿Cómo sabemos que hay un elemento de traza no nula? Está claro que si $a\in F_p$ entonces su traza es cero ya que $a^{p^i}=a$ así que $\operatorname{tr}(a)=a+a+\cdots+a=pa=0$ . Así que sabemos que este elemento tiene que venir de $F_{p^n}$ y considero que no debe estar en ningún subcampo, pero no consigo demostrarlo.

Además, estoy tratando de mostrar que $x^p-x-a$ que está en $F_{p^n}$ es irreducible o es un factor completo. Hasta ahora, he visto que si el polinomio tiene alguna raíz, digamos $b$ , entonces también tiene raíces $b+i$ para $i=1$ a $p-1$ así que encontramos todos los $p$ raíces de la $p$ polinomio de grado, por lo que se factoriza completamente en factores lineales si podemos obtener una de sus raíces. Pero no veo por qué es eso o irreducible. ¿No podemos el polinomio factorizar en dos polinomios de menor grado que sean irreducibles?

Answer 1

En cuanto a su pregunta sobre la traza, tenga en cuenta que su razonamiento es ligeramente erróneo porque esa $\text{tr}(a) = na$ realmente y no $pa$ . Sin embargo, demostrar que existe un elemento de traza no nula es un argumento bastante sencillo. Supongamos que $x + x^p + ... + x^{p^{n-1}}$ se desvanece en todas partes en $F_{p^n}$ . Pero entonces este polinomio tiene $p^n > p^{n-1}$ raíces lo cual es absurdo, por lo que se deduce que debe existir al menos $p^n - p^{n-1}$ elementos de traza no nula de hecho.

Para su segunda pregunta, tenga en cuenta que $(x^p - x - a)' = -1$ donde estoy tomando un derivado. De ello se desprende $x^p - x - a$ no tiene factores repetidos ya que es relativamente primo con su derivada. Ahora dejemos que $x^p - x - a = p_1(x)p_2(x)...p_m(x)$ donde $p_i(x)$ son polinomios irreducibles distintos sobre $F_{p^n}$ . Toma raíces $r_1,r_2,...,r_m$ de ellos. Entonces es fácil ver por su lógica de $b$ siendo una raíz que implica $b+i$ siendo una raíz que $F_p[r_1] = F_p[r_2] = ... = F_p[r_m]$ lo que implica que todos los polinomios irreducibles tienen el mismo grado. Pero entonces $m|p$ , lo que implica $m=p$ o $m=1$ que da el resultado deseado.