Doble integral: Cómo pasar a coordenadas polares con un dominio difícil

Question

Tengo esta doble integral: $$ I=\int \int_{R} (x+y),\;\; R=\left \{ (x,y):\frac{x^{2}}{3} \leq y\leq 3,\; -1\leq x\leq 3\right \} $$

y este es el dominio de integración NO en coordenadas polares:

no veo ninguna simetría radial, ¿cómo puedo cambiar a coordenadas polares?

EDITAR: la pregunta es: ¿Cuál es la mejor manera de manejar este tipo de problemas, cuando se le pide a cambiar en coordenadas polares, pero con un dominio "no-radial como"?

Answer 1

Si quieres escribir esto en coordenadas polares, puedes dibujar segmentos de línea desde el origen hasta los puntos $(3,3), (-1,3), \text{ and }(-1,\frac{1}{3})$ dividiendo así la región en 4 subregiones.

Entonces puedes escribir la integral como la suma de 4 integrales en coordenadas polares utilizando $\hspace{.4 in}x=r\cos\theta \text{ and } y=r\sin\theta$ para conseguir

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^{3\sec\theta\tan\theta}r(\cos\theta+\sin\theta)r\;dr d\theta+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})}\int_0^{3\csc\theta}r(\cos\theta+\sin\theta)r\;dr d\theta$

$\displaystyle+\int_{\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})}^{\cos^{-1}(-\frac{3}{\sqrt{10}})}\int_0^{-\sec\theta}r(\cos\theta+\sin\theta)r\;dr d\theta+\int_{\cos^{-1}(-\frac{3}{\sqrt{10}})}^{\pi}\int_0^{3\sec\theta\tan\theta}r(\cos\theta+\sin\theta)r\;dr d\theta$