Hallazgo de los momentos principales de interinidad

Question

Esto es en parte una pregunta de física, pero aquí está:

Tengo un tensor de inercia, he encontrado los eigevalores como 1, 1 y 4.

Para encontrar los vectores propios he encontrado las ecuaciones simultáneas

\begin {align} 2a + b + c &= a; \\ a + 2b + c &= b; \\ a + b + 2c &= c; \end {align}

Para el valor propio=1, obtengo las relaciones $a-b = a-b$ ; $b-c= b-c$ que obviamente no especifican un valor particular de $a$ o $b$ .

Para el valor propio=1 puedo encontrar múltiples vectores propios que satisfacen la ecuación del valor propio, además de los que aparecen en las respuestas de los trabajos anteriores de los que procede esta pregunta.

¿Cuál es la razón matemática de esto?

Answer 1

Por favor, revise sus conocimientos para el cálculo de los vectores propios. Su sistema es el sistema de vectores propios para el doble valor propio 1. Como es lógico, dado que la matriz es simétrica, el subespacio propio es bidimensional, es decir, cada una de las ecuaciones es equivalente a $$a+b+c=0.$$ Por ejemplo $(a,b,c)=(1,0,-1)$ y $(a,b,c)=(-1,2,-1)$ son dos vectores propios ortogonales.

Para el valor propio 4, el sistema es

\begin {align} 2a + b + c &= 4a; \\ a + 2b + c &= 4b; \\ a + b + 2c &= 4c; \end {align}

que se puede reformular como $b-a=a-c=c-b$ por lo que el único vector propio, hasta los múltiplos, es $(a,b,c)=(1,1,1)$ .