Encontrar el límite de $x\to1$: $\vert x^2+x-2\vert /(x^2-1)$

Question

La sustitución de $1$ en la ecuación que nos da la $ \frac 00$ (forma indeterminada), y por lo tanto debemos encontrar el límite de alguna otra manera.

Rompiendo $\vert x^2+x-2\vert $ a $\vert (x-1)(x+2)\vert $, y observando que $\vert x-1\vert = -(x-1)$ al $x < 1 $ $\vert x-1\vert = (x-1)$ al $x > 1$ y $\vert x+2\vert = x + 2$ al $x > -2$ podemos deducir lo siguiente:

$$\lim\limits_{x\to1^-}= \frac{-(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}= -(3/2)$$

(como $(x-1)$ términos cancelar.

Utilizando un argumento similar para el límite de $x\to1^+$ (de la derecha) vemos que es igual a $3/2$ (desde $\vert x-1\vert = (x - 1)$.)

Llegamos a la conclusión de que el límite no existe, como los límites tomado desde el lado izquierdo y el lado derecho (se acerca a $1$) no son equivalentes (es decir, $-3/2$ no es igual a $3/2$).

Límite de calculadoras digo que la respuesta es $0$, sin embargo, me parece que no puede averiguar cómo esto sería así.

Answer 1

A pesar de que su prueba es completamente exacto, me gustaría ofrecer un método ligeramente diferente (con el efecto de bonus de que esta pregunta probablemente será eliminado de te sin respuesta que).

Vamos a decir $f(x)=\dfrac{\vert x^2+x-2\vert}{x^2-1}$. Ya has argumentado muy bien que $f(x)<0$ $(1-\varepsilon,1)$ $f(x)>0$ $(1,1+\varepsilon)$ (al menos para sufficietly pequeño $\varepsilon>0$).

Ahora supongamos que $\lim\limits_{x\to1}f(x)=L$ algunos $L$. Esto significaría que $$\forall\,\varepsilon>0 \, \exists \delta >0: 0<\vert x-1\vert<\delta \implies \vert f(x)-L\vert <\varepsilon.$$ In words this would mean that $L$ lies arbitrarily close to $f(x)$ whenever $x$ lies close enough to $1$. So $L$ lies arbitrarily close to both negative and positive numbers, meaning $L=0$ es la única opción. (Esto es discutible, no del todo trivial, sin embargo muy fácilmente demostrado a través de la contradicción.)

Ahora, para cada $\varepsilon>0$ debemos tener: $$0<\vert x-1\vert<\delta\implies \left\vert\frac { x^2+x-2}{x^2-1}\right\vert=\left\vert\frac{x+2}{x+1}\right\vert<\varepsilon$$ for some $\delta>0$. But now for $x=1+\frac\delta2$ we have that $$\dfrac{x+2}{x+1}=\dfrac{3+\frac\delta2}{2+\frac\delta2}>1.$$ This is a contradiction and thus the limit is not $L=0$. However $L=0$ was the only posibility we had for $\lim\limits_{x\1}f(x)=L$, y por lo tanto el límite no existe.