discutiendo la existencia de una función convexa

Question

Si $g$ es una función positiva sobre $[0,1]$ tal que $g(x)$ tiende a $\infty$ como $x$ tiende a $0$ entonces existe una función convexa $h$ en $[0,1]$ tal que $ h \leq g$ y $h(x)$ tiende a $\infty$ como $x$ tiende a $0$ .

¿Es eso cierto o falso y por qué?

Answer 1

Primero observe que no tiene realmente sentido para su función $g$ para ser un de valor real función en $[0,1]$ (nota que $0 \in [0,1]$ ) si también asume $g(x) \to \infty$ para $x \downarrow 0$ . Por lo tanto, en lo que sigue supondré que realmente estamos trabajando en el intervalo $(0,1]$ .

En este caso, resulta que dicha función siempre existe.

Para ver esto, primero observe que si $F$ es un conjunto (no vacío) de convexo funciones en un intervalo $\emptyset \neq I \subset \Bbb{R}$ , de tal manera que

$$ g(x) := \sup_{f \in F} f(x) $$

es finito para todo $x \in I$ entonces $g$ es una función convexa.

Para ver esto, dejemos $\lambda \in [0,1]$ y $x,y \in I$ . Para cualquier $f \in F$ tenemos

$$ f(\lambda x + (1-\lambda) y ) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) \leq \lambda g(x) + (1-\lambda) g(y). $$

Después de tomar el supremum, llegamos a $g(\lambda x + (1-\lambda) y) \leq \lambda g(x) + (1-\lambda) g(y)$ .

Ahora, para $\alpha, \beta \in \Bbb{R}$ , dejemos que $g_{\alpha, \beta} := (x \mapsto \alpha x + \beta)$ considerada como una función sobre $(0,1]$ . Obsérvese que cada $g_{\alpha, \beta}$ es afino-lineal y, por tanto, convexo.

Establecer

$$ F := \{g_{\alpha, \beta} \mid g_{\alpha, \beta}(x) \leq g(x) \,\forall x\in (0,1]\}. $$

Las consideraciones anteriores implican que la función $h(x) := \sup_{\varphi \in F} \varphi(x)$ es una función convexa sobre $(0,1]$ con $h(x) \leq g(x)$ para todos $x$ . Esta función se denomina sobre convexo de $g$ . Basta con mostrar $h(x) \to \infty$ para $x \downarrow 0$ .

Para ver esto, dejemos $M > 0$ sea arbitraria. Debido a $g(x) \to \infty$ para $x \downarrow 0$ , hay $\delta > 0$ con $g(x) > 2M$ para todos $x \in (0,\delta)$ .

Dejemos que $\gamma \in (0,\delta)$ sea arbitraria y que $\alpha, \beta \in \Bbb{R}$ para que

$$ g_{\alpha, \beta} (x) = -\frac{2M}{\gamma} (x - \frac{\gamma}{2}) + M. $$

Tenga en cuenta que $g_{\alpha, \beta}$ es estrictamente decreciente.

Para $x \in (0,1]$ Ahora hay dos casos:

1. Tenemos $x \in (0,\gamma]$ . Entonces $g_{\alpha, \beta}(x) \leq g_{\alpha, \beta}(0) = 2M \leq g(x)$ por la elección de $\delta, \gamma$ .

2. Tenemos $x \in (\gamma, 1]$ . Entonces $g_{\alpha, \beta}(x) \leq g_{\alpha, \beta}(\gamma) = 0 \leq g(x)$ porque $g$ es no negativo.

En definitiva, vemos $g_{\alpha, \beta}(x) \leq g(x)$ para todos $x$ y por lo tanto

$$ h(\gamma/2) \geq g_{\alpha, \beta}(\gamma/2) = M. $$

Esto demuestra $h(x) \geq M$ para todos $x \in (0,\delta/2)$ y por lo tanto $h(x) \to \infty$ para $x \downarrow 0$ porque $M>0$ era arbitraria.