Condiciones para que el segundo grupo de homotopía sea abeliano

Question

¿Cuál es el conjunto más débil de suposiciones sobre un par de espacios $X\subset M$ para el que el segundo grupo de homotopía $\pi_2(M,X) $ ¿se garantiza que es abeliana?

Ingenuamente, esperaba que los abelianos $\pi_1(X)$ haría el trabajo. Sin embargo, hay contraejemplos. Por ejemplo, este hilo en math.stackexchange se discuten ejemplos elaborados con nobelianos $\pi_2(M,X)$ y abeliana $\pi_1(X)$ utilizando ciertos espacios Eilenberg-MacLane.

Un estudiante mío encontró un sencillo argumento gráfico que (si es correcto) sugiere que si

1. $\pi_1(X)$ es abeliana, y

2. $X$ es homotópico a un punto de $M$

entonces $\pi_2(M,X)$ es efectivamente abeliana. Esto ya cubre todas las aplicaciones de la física que tenemos en mente. Sin embargo, nos hizo preguntarnos cuánto se pueden relajar las dos condiciones para seguir garantizando la conmutatividad del grupo homotópico relativo.

Answer 1

Eso es seguramente falso. Sea Y cualquier espacio con un segundo grupo de homotopía no abeliano y sea M la unión de un punto de Y y D^2 y sea X S^1 que es homotópico a un punto de D^2 y por tanto M.