Segundos momentos uniformemente integrables y convergencia débil.

Question

Dejemos que $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ sea el espacio de las medidas de probabilidad de Borel, y sea $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ sea el espacio de las medidas de probabilidad de Borel con segundo momento finito. Sea $\{\mu_n\} \subset \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ tienen segundos momentos uniformemente acotados, y se supone que $\mu_n\to \mu \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ débilmente.

¿Es cierto que $\mu \in \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ ?

Answer 1

Sí.

Por el teorema de representación de Skorohod existen vectores aleatorios $X_n$ y $X$ tal que $\mu_n$ es la distribución de $X_n$ , $\mu$ es la distribución de $X$ y $X_n \to X$ a.s.

Denota por $X_n^{(1)}$ la secuencia de las primeras coordenadas de los vectores $X_n$ . Sabemos que $X_n^{(1)} \to X^{(1)}$ a.s., donde $X^{(1)}$ es la primera coordenada de los vectores $X$ .

Como $X_n$ tienen segundos momentos uniformemente acotados $sup_{n \ge 1} E ||X_n||^2 < \infty$ entonces $sup_{n \ge 1} E |X_n^{(1)}|^2 < \infty$ .

Por el lema de Fatou $ E (X^{(1)})^2 = E \underline{lim} (X_n^{(1)})^2 \le \underline{lim} E(X_n^{(1)})^2 < \infty$ .

Asimismo, $ E (X^{(i)})^2 < \infty$ para todos $1 \le i \le d$ . De ello se deduce que el límite de $P_n$ está en $\mathcal{P}_2(R^d)$ , q.e.d.

Adición

Por el criterio de De la Vallée-Poussin para la Integrabilidad Uniforme $\{X_n^{(1)} \}_{n\ge 1}^{\infty}$ es una clase uniformemente integrable de r.v. Por lo tanto $X^{(1)} \in L_1$ y $EX_n^{(1)} \to EX^{(1)}$ . Pero $EX_n^2$ no converge a $EX^2$ en el caso general.

Ejemplo . Considere $X_n \sim \sqrt{n} Bern(\frac{1}n)$ entonces $X_n \to 0$ . Así, $P_n, P \in \mathcal{P}_2(R^d)$ , $EX_n^2 \to 1 \ne 0 = EX^2 $ .