Existencia de una forma lineal continua inyectiva. En un espacio vectorial normado $E$

Question

Dejemos que $(E,N)$ Sea un espacio vectorial normado. La dimensión de $E$ podría ser infinito.

¿Existe una forma lineal $f$ continua: $$\exists C>0 \quad \text{such that}\quad |f(x)|\leq C\lVert x\rVert\quad \forall x \in E$$

y inyectiva ( $\text{Ker}\,f={0}$ )?

Answer 1

Si $\ker f=\{0\}$ y $E$ es distinto de cero, tome cualquier $x_0\in E$ con $f(x_0)\ne0$ . Ahora, para cualquier otro $x\in E$ tenemos $$ f\left(x-\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0\right)=f(x)-f(x)=0. $$ Así, $x-\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0\in\ker f=\{0\}$ y así $x=\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0$ . Es decir, $E=\mathbb F x_0$ y así $E$ es unidimensional.

Lo anterior funciona para cualquier campo, y no presupone que $f$ está acotado.