Ángulo entre dos vectores dotados de producto interior especial.

Question

Dejemos que $u\neq0 $ y $v\neq 0$ sean dos vectores en un espacio vectorial con producto interior como $\left \| u \right \|=\left \| v \right \|=\left \| u-v \right \|$ . Determine el ángulo entre $u$ y $v$ .

Progreso:

$\cos\theta=\frac{\left \langle u,v \right \rangle}{\left \| u \right \|\left \| v \right \|}=\frac{\left \langle u,v \right \rangle}{\left \| u-v \right \|^2}=\frac{\left \| u-v \right \|^2-2\left \| u \right \|^2}{2\left \| u \right \|^2}=\frac{-\left \| u \right \|^2}{2 \left \| u \right \|^2}=-\frac{1}{2}$

$\cos\theta=-\frac{1}{2}\rightarrow \theta=\frac{2\pi }{3}$ . La respuesta correcta es $\theta=\frac{\pi }{3}$

Answer 1

$$\|u-v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2-2(u\cdot v)$$ implica que

$$ \|v\|^2=2(u\cdot v) $$

y luego simplificar y reorganizar esto

$$ \frac{\|v\|^2}{\|u\|\|v\|}=\frac{2(u\cdot v)}{\|u\|\|v\|} $$ para obtener el valor correcto de $1/2$ .

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El problema en tu cálculo parece estar después de la segunda igualdad:

$$ \|u-v\|^2-2\|v\|^2=-2(u\cdot v) $$

pero no $2(u\cdot v)$ como querías.

Estarías en el camino correcto para usar

$$2\|v\|^2-\|u-v\|^2$$

y entonces el error del signo desaparece.

Answer 2

Tu tercera igualdad es errónea. En lugar de $\frac{||u-v^2||^2-2||u||^2}{2||u||^2}$ debe decir $\frac{2||u||^2-||u-v^2||^2}{2||u||^2}$ que da la respuesta correcta.