Suma del producto de los números catalanes

Question

Considere todas las matrices en forma de $x_1, x_2, ... x_k$ tal que la suma de estos números sea igual a L. Se busca la suma de todos los $C(x_1) * C(x_2) * ... * C(x_k)$ donde $C(i)$ es el i-ésimo número catalán. ¿Existe alguna fórmula para calcular dicho valor?

Answer 1

La función generadora de los números catalanes es $$g(z) = \sum_{n\geq 0} C_n z^n = \sum_{n\geq 0}\binom{2n}{n}\frac{z^n}{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}\tag{A}$$ y el número que quieres es sólo el coeficiente de $z^L$ en $\left(\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}\right)^k$ es decir

$$\frac{1}{2^k}[z^{L+k}]\left(1-\sqrt{1-4z}\right)^k = 2^{2L+k} [z^{L+k}]\left(1-\sqrt{1-z}\right)^k\tag{B}$$

Por Teorema de inversión de Lagrange este número es igual a $\color{blue}{\frac{k}{2L+k}\binom{2L+k}{L}}$ .