Dada una sucesión de números reales, una jugada consiste en elegir dos términos y sustituir cada uno de ellos por su media aritmética. Demostrar que existe una sucesión de 2015 números reales distintos tal que después de aplicar un movimiento inicial a la sucesión -sea cual sea el movimiento- siempre hay una forma de continuar con una sucesión finita de movimientos de forma que al final se obtenga una sucesión constante.
Respuestas
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Sea $a_1, a_2, ..., a_{1007}$ sean números reales positivos distintos. Conjunto $a_{-i}=-a_i$ para i=1,...,1007, y que $a_0 = 0$ . Entonces la secuencia $(a_{-1007}, a_{-1006}, ..., a_{-1}, a_0, a_1, ..., a_{1006}, a_{1007})$ puede reducirse a la secuencia constante $(0,0,...,0)$ en $1007$ movimientos, donde en cada movimiento operamos sobre un par diferente $(a_{-i}, a_i) = (-a_i, a_i)$ que el movimiento envía a $(0,0)$ . (Obsérvese que esta secuencia tiene $2015$ elementos distintos).
Supongamos que hacemos un movimiento inicial que lleva $(a_i, a_j)$ a $(\frac{a_i + a_j}{2}, \frac{a_i + a_j}{2})$ para $-1007 \le i < j \le 1007$ . Si ambos $i$ y $j$ son distintos de cero, podemos hacer un segundo movimiento que toma $(a_{-i}, a_{-j}) = (-a_i, -a_j)$ a $(\frac{-a_i - a_j}{2},\frac{-a_i - a_j}{2})$ . Entonces podemos hacer 2 movimientos adicionales que toman $(\frac{-a_i - a_j}{2}, \frac{a_i + a_j}{2})$ a $(0,0)$ . Entonces para todos $k \not\in \{0,i,j,-i,-j\}$ podemos asignar $(a_k, a_{-k})$ a $(0,0)$ . Así llegamos a una secuencia constante en $4+1005=1009$ se mueve.
Supongamos que $i=0$ . Entonces $(0, a_j)$ va a $(\frac{a_j}{2}, \frac{a_j}{2})$ . Elija $k \not\in \{0,j\}$ y mapa $(a_k, a_{-k}) = (a_k, -a_k)$ a $(0,0)$ . Tomando una de las $0$ 's, mapa $(0, a_{-j}) = (0, -a_j)$ a $(\frac{-a_j}{2}, \frac{-a_j}{2})$ . Luego haz dos movimientos adicionales que mapeen $(\frac{a_j}{2}, \frac{-a_j}{2})$ a $(0,0)$ . Para todos $h \not\in \{0,j,-j,k,-k\}$ podemos asignar $(a_h, a_{-h})$ a $(0,0)$ . Así llegamos a una secuencia constante en $5+1005=1010$ se mueve. (Podemos seguir exactamente el mismo procedimiento si $j=0$ intercambiando $i$ y $j$ ).
Esto demuestra que muchas secuencias de partida tienen la propiedad especificada. Por ejemplo, podríamos tomar $a_i = i$ para obtener $(-1007,-1006,...,0,1,...,1007)$ . Además, cualquier traducción de una secuencia que satisfaga la propiedad también la tendrá. Si $(a_{-1007}, ..., a_{1007})$ satisface la propiedad, entonces también lo hace $(a_{-1007} + \bar{a}, ..., a_{1007} + \bar{a})$ para cualquier número real $\bar{a}$ (sustituyendo $0$ por $\bar{a}$ en el argumento anterior).
Ataulfo
Puntos
3108
Probamos la inducción. Es claramente cierto para { $x_1$ }. Supongamos que es cierto para la secuencia { $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ ,..... $x_n$ } y demostrar que es cierto para { $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ ,..... $x_n$ , ${x_{n+1}}$ } ={ $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ ,..... $x_n$ }{ ${x_{n+1}}$ Podemos por hipótesis hacer constante la primera secuencia y el resultado se sigue inmediatamente, en particular para n = 2015.
Pregunta adicional ¿Cuáles son las funciones que cumplen la misma propiedad? ¿Es sólo la media aritmética de dos términos?
