¿Qué es? $P(B_1 > 0, B_2 > 0)$ , donde $B_t$ es un movimiento browniano en el tiempo $t$ ?

Question

A partir de esto se encuentra la siguiente pregunta Puesto de MSE . Para completar, vuelvo a plantear el problema a continuación.

Pregunta: ¿Qué es $P(B_1 > 0, B_2 > 0)$ , donde $B_t$ es un movimiento browniano en el tiempo $t$ ?

A partir de ese puesto, el OP calcula la probabilidad de la siguiente manera:

$P(B_1 > 0, B_2 > 0) = P(B_1 > 0, B_2 - B_1 > -B_1) = P(Z_1 > 0, Z_2 > -Z_1) = \frac{3}{8}$ aplicando un argumento de simetría al $(Z_1, Z_2) \sim N(0, I_2)$ distribución.

Puedo entender todas las igualdades excepto la última que lleva a la respuesta $\frac{3}{8}.$

En otras palabras, no entiendo cómo el argumento de simetría a la distribución normal bivariada está en juego aquí.

Answer 1

En primer lugar $Z_1$ tiene que ser positivo, lo que ocurre con $\frac{1}{2}$ probabilidad. Entonces tenemos que tener $Z_2>-Z_1$ que condicionado al evento anterior significa que $Z_2$ es positivo (que tiene de nuevo $\frac{1}{2}$ probabilidad) o tiene que ser negativo (de nuevo $\frac{1}{2}$ ) y mayor que $Z_1$ en valor absoluto - por simetría es una vez más $\frac{1}{2}$ que se puede encontrar en $\frac{3}{4}$ probabilidad para ese caso. Así que la probabilidad del evento completo es $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ .

Answer 2

Después de leer esto Puesto con validación cruzada Creo que sé cómo obtener $$P(Z_1 > 0, Z_2 > -Z_1) = \frac{3}{8}.$$ Siguiendo la misma idea que en el post de Cross Validated, dibujamos un $Z_2$ contra $Z_1$ plano. También dibujamos dos líneas $Z_2 = Z_1$ y $Z_2 = -Z_1$ para dividir el plano en $8$ cuadrantes. Entonces la probabilidad requerida $$P(Z_1 > 0, Z_2 > -Z_1)$$ es la intersección entre dos regiones $Z_1 > 0$ y $Z_2 > -Z_1,$ que consisten en $3$ cuadrantes de $8$ . (Creo que la afirmación en negrita es cierta si las dos variables aleatorias $Z_1$ y $Z_2$ son independientes). Entonces, la probabilidad es $\frac{3}{8}.$