La trascendencia de Lerch que aparece en Mathworld es $$ \Phi(z,s,a)= \sum_{k=0}^\infty {z^k\over (a+k)^s}$$ Estoy jugando con series de la forma $$ f_n(z)=\sum_{k=0}^\infty {z^k\over (1+k)^n} $$ y sus transformaciones de Borel $$ g_n(z)=\sum_{k=0}^\infty {z^k\over (1+k)^n }{1 \over k!} $$ tal que $g_n(z)$ es también la transformación de Borel de $\Phi(z,n,1)$ .
Ahora quiero trabajar con $f_n(z)$ y $g_n(z)$ (y sus derivadas) en valores enteros $n$ y queremos mejorar algunas hipótesis (hasta ahora sólo conseguidas por aproximaciones numéricas) para $g_n(z)$ y sus derivadas - por supuesto, puede que ya existan expresiones (posiblemente sencillas) para esto. Así que mi pregunta:
Q : ¿Se conocen expresiones de forma cerrada para la transformación de Borel para la trascendente de Lerch (o al menos para la $g_n(z)$ en mi definición a valores enteros $n$ ) ?
Antecedentes adicionales: Estoy tratando de entender el comportamiento de $f_n(z)$ cuando es divergente, por ejemplo en el caso de un $n$ . La transformación de Borel $g_n(z)$ sigue siendo convergente (entero en ambos parámetros) y encontrar expresiones analíticas para ellos podría ayudar a describir $f_n(z)$ mejor para los casos divergentes (o condicionalmente convergentes).
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Para los negativos $z,s$ es mucho más fácil aplicar una suma de Euler.
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Además, debería ser bastante obvio que $$f_0(z)=\frac1{1-z}$$ Y eso $$f_{n-1}(z)=\frac1z\int_0^zf_n(t)~dt$$