Resuelve: $(\sin x)^2 - 1 = 2\cos x+\cos(2x)$

Question

Buscando pistas para resolver la ecuación $$(\sin x)^2 - 1 = 2\cos x+\cos(2x)$$

Answer 1

Sugerencia

$\sin^2x+\cos^2x=1$

$\cos 2x=2\cos^2x-1$

Answer 2

SUGERENCIA: escribe tu ecuación en la forma $$-\cos^2(x)+2\cos(x)+1=0$$

Answer 3

HINT

$$\cos (2x) = 2 \cos^2 x -1$$ y $$ \cos^2 x -1 = -\cos^2 x. $$ Dejemos que $ u = \cos x $ y te queda una ecuación cuadrática en $u$ . Si tienes suerte, la solución de esa ecuación cuadrática será reconocible como el coseno de algún ángulo conocido.

Answer 4

HINT

Tenga en cuenta que

$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2x-1$$

entonces

$$(\sin x)^2 - 1 = 2\cos x+\cos(2x)\iff-\cos^2 x=2\cos x+2\cos^2x-1\\\iff3\cos^2x+2\cos x-1=0$$

entonces deja que $t=\cos x$ y resolver para $$3t^2+2t-1=0$$

Y recuerda que para la ecuación cuádrica $at^2+bt+c=0$ las raíces vienen dadas por

$$t_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

que en este caso conducen a $t_1=-1$ y $t_2=\frac13$ .