La prueba por contradicción: $r - \frac{1}{r} =5\Longrightarrow r$ es irracional?

Question

Demostrar que cualquier número real positivo $r$ la satisfacción de:

$r - \frac{1}{r} = 5$ debe ser irracional.

El uso de la contradicción que la ecuación debe ser racional, nos pusimos $r= a/b$, donde a,b son enteros positivos y sustituir:

$\begin{align*} &\frac{a}{b} - \frac{1}{a/b}\\ &\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\\ &\frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab}\\ &\frac{a^2-b^2}{ab} \end{align*}$

Yo no estoy seguro de qué hacer a continuación?

Answer 1

Creo que su método es el sonido: si asumimos por la contradicción que $r=\frac{a}{b}$ $a,b$ enteros tenemos que $$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=5$$ ya que ni $b$ ni $a$ es 0, podemos multiplicar por $ab$ y obtener $$(a-b)(a+b)=5ab$$ ahora hay tres casos a investigar, sólo voy a punto de verlos, así que usted puede bajar de:

1. Si $a$ $b$ son ambos impares, mirar a ambos lados de la ecuación (mod2).
2. Si uno de ellos es impar y el otro aun - intentar el mismo truco de (mod 2)
3. por último - si ambos son incluso puede dividir toda la ecuación por 2 y continuar.

espero que ayude

Answer 2

Para completar la solución, tenga en cuenta que usted puede, sin pérdida de generalidad, establezca $a$ $b$ a ser coprime. Así que usted ha $a^2=b^2+5ab=b(b+5a)$. Por lo tanto $a$ divide $b(b+5a)$. Euclides del lexema, ahora le dice a usted que $a$ divide $b+5a$ (debido a $a$ $b$ son coprime). Pero, a continuación, $a$ debe dividir $b$, lo cual está en contradicción con el hecho de que $a$ $b$ son coprime.

Aquí hay una alternativa: la transforman en $r^2-5r-1=0$. ¿Cuáles son los reales (si cualquier) las raíces de esta ecuación? La fórmula cuadrática da: $r_{12}=5/2\pm \sqrt{29}/2$. Puesto que hay dos diferentes raíces de un polinomio cuadrático en $\mathbb{R}$, estas son las raíces. Así que tu problema viene a mostrar que la $\sqrt{29}$ es irracional. (De hecho, se puede demostrar que la raíz cuadrada de cualquier no-perfecto-cuadrado número es irracional. Este es el número teórico de parte).

Answer 3

A continuación se presentan seis métodos - cuya variedad puede resultar algo instructivo.

$(0)\ $ Por la Paridad de la Raíz de la Prueba, $\rm\: x^2-5\:x-1\:$ no tiene raíces racionales, ya que tiene impar coeficiente inicial, extraño término constante y extraño coeficiente de suma.

$(1)\ $ Por la Raíz Racional de la Prueba, la única posibilidad racional de las raíces de $\rm\ x^2 -5\ x - 1\ $ $\rm\ x = \pm 1\:.$

$(2)\ $ Completar su prueba: mostrar que $\rm\ (a,b) = 1\ \Rightarrow\ (ab,\:a^2-b^2) = 1\:.\:$ Por ejemplo, si el primer $\rm\ p\ |\ a,\ a^2-b^2\ $ $\rm\ p\ |\ b^2\ \Rightarrow\ p\ |\ b\:.\ $ como alternativa, debido a $\rm\ a,\:b\ $ son coprime a$\rm\ a-b,\:a+b\ $, a continuación, sus productos $\rm\ a\:b,\ a^2-b^2\:,\: $ son también coprime, por Euclides del Lexema.

$(3)\ $ Suponga que tiene una raíz racional $\rm\: R = A/B\:.\ $ ponerlo en términos mínimos, por lo que el $\rm\: B\:$ es mínima. $\rm\ R = 5 + 1/R\ \Rightarrow\ A/B = (5\:A+B)/A\:.\:$ Tomando partes fraccionarias de los rendimientos de $\rm\ b/B = a/A\ $ $\rm 0\le b < B\:.\:$ Pero $\rm\ b\ne0\ \Rightarrow\ A/B = a/b\ $ contra minimality de $\rm\:B\:.\:$ $\rm\:b = 0\:,\:$ es decir $\rm\ A/B\ $ tiene parte fraccionaria $ = 0\:,\:$ $\rm\ R = A/B\ $ es un número entero. Entonces, así también es $\rm\ 1/R = R-5\:.\:$ $\rm\ R = \pm 1\:,\:$ contra $\rm\ R^2 - 1 = 5\:R\:.$

$(4)\ $ $\rm(3),\ \ R = A/B = C/A\:,\: $ $\rm\:A/B\:$ En términos mínimos, es decir, $\rm\:B =\: $ mínimo denominador de $\rm\:R\:.\:$ Por única fractionization, el mínimo denominador se divide cada denominador, por lo tanto,$\rm\:B\ |\ A\:,\:$, con lo cual concluye la prueba como en $(3)$.

Para más información sobre la relación entre el$(3)$$(4)$, sigue el enlace de arriba, donde encontrarás mi análisis de análoga general de raíz cuadrada irracionalidad de las pruebas y enlaces a una interesante discusión de tales entre John Conway y yo.

$(5)\ $ Como Euclides demostró una vez hace mucho tiempo, la distancia Euclídea mcd algoritmo funciona también para los racionales, por lo que también han gcds, y tal gcds disfrutar de las mismas leyes que para los números enteros, por ejemplo, la ley distributiva. Por lo tanto $\rm\ (r,1)^2 = (r^2,r,1) = (5r+1,r,1) = (r,1)\ $ $\rm\ (r,1) = 1\:,\:$ $\rm\ 1\ |\ r \ $ $\rm\:\mathbb Z\:,\:$ es decir $\rm\ r\in\mathbb Z\:,\:$ y la prueba de ello concluye que el anterior. Esto es - en el corazón - la misma prueba insinuó por Aryabhata con la no terminación de la continuación de la fracción de algoritmo (una variante de la distancia Euclídea mcd algoritmo). Alternativamente, la ampliación de los anteriores ecuaciones por $\rm\:b^2\:,\:$ donde $\rm\ r = a/b\:,\:$ lo convierte a uno usando sólo entero mcd, es decir, $\rm\ 1 = (a,b)^2 = (a^2,ab,b^2) = (5ab+b^2,ab,b^2) = b\:(a,b)\:$ $\rm\ b\ |\ 1\:.\:$

Estos son esencialmente especial de los casos de mcd/ideal de la teoría de las formas de probar que $\rm\: \mathbb Z\:$ es integralmente cerrado, es decir, se satisface la monic Racional de la Raíz de la Prueba. Es decir, una raíz racional de un monic polinomio $\rm\in\mathbb Z[x]\:$ debe ser integral. Tal vez la más pulida manera de probar dichos resultados es la elegante una línea de prueba de uso de Dedekind la noción de conductor ideal. Siga ese enlace (y sus enlaces) para mucho más debate (tanto a nivel de primaria y avanzado).

Answer 4

Como ya has visto las respuestas que se completa la prueba, he aquí otra prueba de uso de fracciones continuas.

Si $r$ era racional, es finita y continua fracción, decir $[a_1, a_2, \dots, a_n]$, pero que puede extenderse a $[5, a_1, a_2, \dots , a_n]$ $[5,5,a_1, a_2, \dots a_n]$ etc, porque $$ r = 5 + \frac{1}{r} = 5 + \frac{1}{[a_1, a_2, \dots, a_n]} = [5, a_1, a_2, \dots, a_n]$$

De hecho, usted puede fácilmente dar el infinito continuó fracción de $r$

$$[5,5,5,5,\dots]$$