Estoy buscando la forma cercana de la integral $\int_u^{\infty}(x+a)^ve^{-bx}dx$ , donde $u,a,b$ son números reales positivos (b puede ser un número entero en un caso especial), $v$ es un número complejo. ¿Hay alguien que lo sepa? Gracias de antemano.
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JohnDoe
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$$ \int_u^\infty(x+a)^{\nu}\mathrm{e}^{-bx}dx $$ hagamos el submarino $t = x+ a$ encontramos $$ \mathrm{e}^{ab}\int_{u+a}^\infty t^\nu\mathrm{e}^{-b(t-a)}dt = \mathrm{e}^{ab}\int_{u+a}^\infty t^\nu\mathrm{e}^{-bt}dt =\frac{\mathrm{e}^{ab}}{b^{\nu+1}}\int_{b(u+a)}^\infty s^{\nu}\mathrm{e}^{-s}ds $$ Si mapeamos $\nu \to \alpha - 1$ encontramos $$ \frac{\mathrm{e}^{ab}}{b^{\nu+1}}\int_{b(u+a)}^\infty s^{\nu}\mathrm{e}^{-s}ds = \frac{\mathrm{e}^{ab}}{b^{\nu+1}}\int_{b(u+a)}^\infty s^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-s}ds $$ Esta última es la forma de la función gamma incompleta $$ \Gamma(s,x) = \int_x^\infty t^{s-1}\mathrm{e}^{-t}dt $$ por lo que tenemos $$ \frac{\mathrm{e}^{ab}}{b^{\nu+1}}\int_{b(u+a)}^\infty s^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-s}ds = \frac{\mathrm{e}^{ab}}{b^{\nu+1}}\Gamma(\alpha,b(u+a)) = \frac{\mathrm{e}^{ab}}{b^{\nu+1}}\Gamma(\nu+1,b(u+a)) $$ Tenemos condiciones adecuadas en $\alpha$ y por lo tanto $\nu + 1$ .
Wolfram alfa muestra que una antiderivada viene dada por $$\int (x+a)^\nu e^{-b x} dx= -b^{-(\nu+1)} e^{a b} \Gamma(\nu+1,b(a+x)). $$
Evaluando la antiderivada en los valores límite, obtenemos $$\int_u^\infty (x+a)^\nu e^{-b x} dx = b^{-(\nu+1)} e^{a b} \Gamma(\nu+1,b(a+u))$$ con $\Gamma$ la función Gamma incompleta.
