Distribución con la misma expectativa y varianza

Question

En los cursos básicos de probabilidad, aprendimos que si $$X \sim Poisson(\lambda)$$ entonces

$$E(X) = V(X) = \lambda$$

Así que, obviamente, la expectativa y la varianza de una variable aleatoria de Poisson son iguales.

Ahora bien, ¿existe otra distribución de probabilidad que tenga la misma expectativa y varianza?

En caso afirmativo, ¿con qué método podríamos encontrar esa(s) distribución(es) de probabilidad?

Answer 1

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}$

Para cualquier variable aleatoria $X$ con $\Var[X] < \infty$ la variable aleatoria $$Y = X - \mathbb{E}[X] + \Var[X]$$ tiene $$\Var[Y] = \Var[X] \qquad \mathrm{and} \qquad \mathbb{E}[Y] = \Var[X]\,.$$

En otras palabras, para cualquier variable aleatoria con varianza finita, se puede desplazar para que la media y la varianza sean iguales.

Answer 2

Definir una distribución con la misma media y varianza que tiene propiedad S .

Obtener una distribución de dos valores (discretos) con la propiedad S es fácil. Sea $P(x=m+d)=P(x=m-d)=\frac12$ con $m>0$ . La media es obviamente $m$ y la varianza es $d^2$ Así que $d=\sqrt m$ . Cálculos similares conducen a distribuciones discretas más valiosas con la propiedad S.

Para las distribuciones continuas, existe obviamente la normal $\mathcal N(m,m)$ que, de hecho, se utiliza a veces para aproximar la distribución de Poisson. Se puede hacer que la distribución uniforme tenga la propiedad S; fijando el límite inferior en 0 debemos tener $b/2=b^2/12$ para el límite superior $b$ , lo que lleva a $b=6$ .

El método más general para obtener distribuciones con la propiedad S sería a través de la función generadora de momentos, como se sugiere en los comentarios.