ejemplo de un espacio métrico en el que la desigualdad de triángulos es la igualdad

Question

¿Existe algún ejemplo de espacio métrico $X$ con más de dos puntos tales que la desigualdad del triángulo es siempre la igualdad?

Answer 1

En cualquier espacio métrico con al menos dos puntos, la desigualdad del triángulo es una desigualdad real. Ya que si $x\neq y$ y por lo tanto $d(x,y) > 0$ , entonces por la desigualdad del triángulo, $$ 0 = d(x,x) \leq d(x,y) + d(y,x) = 2d(x,y), $$ y por nuestra hipótesis debemos concluir que $$ d(x,x) < d(x,y) + d(y,x). $$

Edición: he eliminado algunas redundancias. Las mismas conclusiones son válidas para una pseudometría no trivial.

Answer 2

Este ejemplo no existe. Supongamos que el espacio métrico $X$ contiene 2 puntos $x,y$ con $x \ne y.$

Entonces tenemos

$0=d(x,x) < d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$

Answer 3

Quizás no: $0=d(x,x)=d(x,y)+d(y,x)$ Así que $d(x,y)=0$ es decir $x=y$ .