Si $f$ y $g$ son uno a uno, entonces $gf$ es uno a uno.

Question

Soy consciente de que hay un hilo sobre esta prueba. Sin embargo, tengo un enfoque ligeramente diferente que no puedo verificar yo mismo - por lo tanto, este hilo.

Prueba .

Si $\,g(f(a_j))=g(f(a_k))$ y $g$ es inyectiva, entonces $f(a_j)=f(a_k)$ .

Si $\,f(a_j)=f(a_k)$ y $f$ es inyectiva, entonces $a_j=a_k$ .

Por lo tanto, si $\,g(f(a_j))=g(f(a_k))$ y $g$ y $f$ son inyectivas, entonces $a_j=a_k$ y por lo tanto $g(f(a))$ es una función inyectiva si $g$ y $f$ son inyectivas.

¿Es correcto?

En un contexto lógico, tengo algunos problemas para entender esta prueba de forma intuitiva. Todo lo que veo es el uso de las implicaciones y, por tanto, no comprendo del todo...

Answer 1

Una forma de verlo intuitivamente es "dibujando flechas". Una función inyectiva es, básicamente, un conjunto de flechas, de las cuales no hay dos que vayan al mismo punto (véase la imagen siguiente). Ahora supongamos que en lugar de una inyección $X\to Y$ también tuvimos otra inyección $Y\to Z$ y queríamos componerlos. Entonces el "conjunto de flechas" resultante de $X\to Z$ tampoco habrá dos flechas que terminen en el mismo lugar, porque dos flechas que comienzan en lugares diferentes terminan en lugares diferentes en $Y$ Por lo tanto, terminan en diferentes lugares en $Z$ . Intenta dibujar flechas para convencerte de ello.

(fuente de la imagen: wikipedia)

Answer 2

Esta prueba está bien. Bien hecha. Para obtener una perspectiva más elevada, considere estudiar (al menos los fundamentos de) la teoría de categorías.

Una cosa que puedo decir - y esto es un punto de crítica - es que se ha olvidado de definir el $a$ s.

Otra cosa: los subíndices son innecesarios. Basta con utilizar $j$ y $k$ (¡y asegúrese de definirlos!).