Probar por definición: $\lim_{n\to\infty}\frac {1-n^2}{2n^2+n+5}=-\frac 1 2$

Question

Demostrar por definición que: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac {1-n^2}{2n^2+n+5}=-\frac 1 2$

Trabajo de raspado para encontrar $N\in \mathbb R$ : $|\frac {1-n^2}{2n^2+n+5}+\frac 1 2|=\frac {n+7}{4n^2+2n+10}\color{red}{<}\frac {n+7}{n^2}=\frac 1 n+\frac 7 {n^2}<\epsilon$ así que toma $N=max\{\frac 1 {\sqrt\epsilon},\frac 7 \epsilon\}$ .

Pero este $N$ me lleva a esta expresión: $\epsilon +7\sqrt\epsilon$ lo que no me parece correcto. No estoy seguro de que el rojo $<$ es correcto pero no veo otra forma de hacer el denominador más pequeño...

Observa que el polinomio del denominador no tiene soluciones, por lo que no se puede simplificar.

Answer 1

La desigualdad roja puede o no ser siempre cierta, no lo sé, no lo he comprobado ( editar: es obviamente cierto porque $n$ es siempre positivo). Pero será cierto para un tamaño lo suficientemente grande $n$ y eso es suficiente. Proceda con $\dfrac 1 n+\dfrac 7 {n^2}\leq \dfrac 1 n+\dfrac 7 n=\dfrac 8 n$ .