Convergencia en probabilidad: ¿Se aplica el teorema de squeeze?

Question

En teorema de la compresión ¿se aplica en la convergencia en probabilidad?

Mi referencia de estadística (donde habla de la convergencia en probabilidad y su condición) no la cita (pero sí parece aplicarla), pero parece que podría aplicarse.

¿Cómo es la formulación de las probabilidades?

Answer 1

$f_n \xrightarrow{p} L$ significa, para cualquier $\epsilon > 0$ que

\begin {equation*} \lim_ {n \to \infty } \mathbb {P} \left ( \left |f_n - L \right | < \epsilon \right ) = 1. \end {equation*}

Si tiene $X_n \leq Y_n \leq Z_n$ para cada uno de los $n$ entonces $X_n - L \leq Y_n - L\leq Z_n - L$ para cualquier $L$ . Tomemos cada una de esas diferencias como no negativas para simplificar; entonces para cualquier $\epsilon > 0$ ,

\begin {equation*} \left\ { \left |Z_n - L \right | < \epsilon\right\ } \subseteq \left\ { \left |Y_n - L \right | < \epsilon\right\ } \subseteq \left\ { \left |X_n - L \right | < \epsilon\right\ }. \end {equation*}

Por lo tanto, tiene que $\mathbb{P}(|Z_{n} - L| < \epsilon) \leq \mathbb{P}(|Y_n - L| < \epsilon) \leq \mathbb{P}(|X_n - L| < \epsilon)$ y el teorema estándar del exprimido te da el resultado que buscas.