Utilizar el residuo para encontrar una integral compleja

Question

Teniendo en cuenta lo siguiente: $$\int_{\varGamma_R} {z\,dz\over e^{2\pi iz^2}-1}, \ \ \ \varGamma_R=\{z\in \Bbb C:|z|=R\},\quad n<R^2<n+1,\,n\in\Bbb N.$$

Quiero usar el residuo para esto, pero no puedo encontrar los polos para las funciones

Answer 1

Obsérvese que los polos se producen siempre que $z^2=k$ , donde $k \in \mathbb{N}\cup \{0\}$ tal que $k \le n^2$ . Así, los polos están en $z_k = \sqrt{k}$ , $k \in \{0,1,2,\ldots,n^2\}$ . Un residuo típico es

$$\operatorname*{Res}_{z=z_k} \frac{z}{e^{i 2 \pi z^2}-1} = \frac{z_k}{i 4 \pi z_k e^{i 2 \pi z_k^2}} = \frac1{i 4 \pi}$$

como $z_k^2$ es un número entero. Nótese que los polos son todos simples; el factor de $z$ en el numerador asegura que incluso el polo en $z=0$ es simple. Por lo tanto la integral es, por el teorema del residuo,

$$i 2 \pi \sum_{k=0}^{n^2} \operatorname*{Res}_{z=z_k} \frac{z}{e^{i 2 \pi z^2}-1} = \frac12 \left ( n^2+1\right )$$

Answer 2

Una pista: Primero, encontrar los polos como

$$e^{2\pi iz^2} -1=0 \implies 2\pi\,iz^2 = 2k\pi i, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Para determinar el orden, véase aquí .