Escribir una serie de Fourier de un $2\pi$ -función periódica.

Question

Este problema fue tomado de la Introducción al análisis de Fourier de Stein, y dice así:

Dejemos que $f$ ser un $2\pi$ -periódica de Riemman definida en $\mathbb{R}$ .

Demuestre que la serie de Fourier de la función $f$ se puede escribir como:

$$f(\theta)\sim \widehat{f}(0)+\sum_{n \geq 1}[\widehat{f}(n)+\widehat{f}(-n)]\cos(n\theta)+i[\widehat{f}(n)-\widehat{f}(-n)]\sin(n\theta)$$

Mi intento:

$$f(\theta)\sim \sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat{f}(n)e^{-in\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}[\widehat{f}(n)+\widehat{f}(-n)]e^{-in\theta}$$

Pero a partir de ahí no sé cómo ordenar esta suma para tener el resultado, bueno de hecho no sé por qué este término $\widehat{f}(n)-\widehat{f}(-n)$ apear.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

No creo que su paso sea correcto, más bien $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat{f}(n)e^{-in\theta}=\widehat{f}(0) + \sum_{n=1}^{\infty}[\widehat{f}(n)e^{-in\theta}+\widehat{f}(-n)e^{in\theta}]$$