Convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{-n+1}+1}{n^a}$

Question

¿Cómo puedo estudiar la convergencia de la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{-n+1}+1}{n^a}$$ para $a>0$ ? He intentado todas las pruebas que conozco sin conseguirlo: prueba de proporción, prueba de comparación, prueba de raíz...

Answer 1

Una pista:

Escribe

$$\frac{a^{-n+1}+1}{n^a}=\frac{a^n+a}{a^nn^a}$$

y ahora aplica la prueba de comparación (límite o no) con $\;\frac1{n^a}\;$ . Distinguir los casos.

Answer 2

La serie converge si $a>1$ si converge, entonces también lo hace $\sum \frac 1 {n^{a}}$ por lo que debemos tener $a>1$ . Por el contrario, si $a>1$ entonces dividir la serie en dos partes y demostrar que cada una de ellas converge.

Answer 3

Tenemos que

$$\frac{a^{-n+1}+1}{n^a}=\frac{a+a^n}{a^nn^a}$$

entonces podemos distinguir dos casos

• $0<a\le 1$

$$\frac{a^{-n+1}+1}{n^a}\sim \frac{1}{a^{n-1}n^a}>\frac{1}{n^a}$$

• $a>1$

$$\frac{a^{-n+1}+1}{n^a}\sim \frac{1}{n^a}$$