Propiedad de los espacios del producto interior

Question

Cómo demostrar que $\|x-y\| \geq |\|x\|-\|y\||$ ?

Sólo estoy pensando en para el LHS, $\sqrt{(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2}$ pero no estoy seguro de cómo manipular eso y cómo manejar el RHS.

Answer 1

Es equivalente a la desigualdad del triángulo: $$\|x\|=\|(x-y)+y\|\le\|x-y\|+\|y\|$$ A continuación, reste $\|y\|$ de ambos lados para obtener $$\|x\|-\|y\|\le\|x-y\|$$ Del mismo modo, podemos demostrar que $$\|y\|-\|x\|\le\|x-y\|$$ para conseguir $$|\|x\|-\|y\||\le\|x-y\|$$