Torsión densa en Torus

Question

Estoy leyendo "Lie Groups and Algebraic Groups" de Onishchik y Vinberg. Al introducir el toroide $T=\mathbb{K}^{\times} \times \cdots \times \mathbb{K}^{\times} = (\mathbb{K}^{\times})^n$ (donde $\mathbb{K}$ es un campo algebraicamente cerrado de característica cero), se pide al lector que demuestre que los elementos de orden finito forman un subconjunto denso de $T$ .

Cuando $n=1$ esto es trivial ya que los subconjuntos cerrados de $T$ son todos los $T$ o conjuntos finitos, pero hay infinitas raíces de la unidad.

Para $n>1$ No estoy seguro de cómo ampliar este argumento. ¿Alguna pista?

Answer 1

Dejemos que $\mu_{\infty}$ sea la torsión de $K^*$ . Entonces la torsión de $T$ es $\mu_{\infty}^n$ . Supongamos que este subconjunto está contenido en un subconjunto cerrado propio de $T$ entonces está contenida en un subconjunto cerrado adecuado $Z(F)$ de $K^n$ con un polinomio no nulo $F\in K[X_1, \dots, X_n]$ . Obtenemos una contradicción con el siguiente lema aplicado a $S=\mu_\infty$ .

Lema: Sea $S$ sea un subconjunto infinito de $K$ . Si $F$ se desvanece en $S^n$ entonces $F=0$ .

Prueba: Por inducción en $n$ . El caso $n=1$ es trivial. Escribe $$F=g_0(X_1,\dots, X_{n-1})+ \cdots + g_d(X_1, \dots, X_{n-1})X_n^d.$$ Fijar $(a_1,\dots, a_{n-1})\in S^{n-1}$ . Para todos los $a_n\in S$ tenemos $F(a_1, \dots, a_{n-1}, a_n)=0$ . Así que $F(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n)\in K[X_n]$ tiene infinitas raíces y por lo tanto es trivial. Esto implica que $g_i(a_1, \dots, a_{n-1})=0$ para todos $i\le d$ . Ahora haga variar $(a_1,\dots, a_{n-1})\in S^{n-1}$ para concluir (con la hipótesis de inducción) que $g_i=0$ para todos $i\le d$ Por lo tanto $F=0$ .