Términos de contacto en la prueba de identidad de Ward

Question

Estoy confundido sobre cómo desaparece un término de contacto cuando se demuestra la identidad de Ward, es decir, el punto que sigue inmediatamente a la ecuación 5.52 en Notas de Weigand . Explicando todo concretamente, consideramos un proceso con un fotón externo y algunos fermiones externos, dando un $S$ -elemento de la matriz $$\langle f | i \rangle \sim \xi^\mu \int dx dx_1\ldots \, \partial_x^2 \not\partial_1 \ldots \langle 0 | T A_\mu(x) \psi(x_1)\ldots | 0 \rangle $$ y aplicar las ecuaciones de Schwinger-Dyson para convertirlo en $$\langle f | i \rangle \sim \xi^\mu \int dx dx_1 \ldots \, \not\partial_1 \ldots \langle 0 | T j_\mu(x) \psi(x_1) \ldots | 0 \rangle $$ mientras se tira un término de contacto, como se explica aquí . Ahora fijamos la polarización del fotón $\xi^\mu = k^\mu$ e integrar por partes para $$\langle f | i \rangle \sim \int dx dx_1 \ldots\, \not\partial_1 \partial^\mu \ldots \langle 0 | T j_\mu(x) \psi(x_1) \ldots | 0 \rangle.$$ Ahora aplicamos la identidad Ward-Takahashi, generando más términos de contacto que se supone que son cero; sin embargo, no entiendo por qué lo son. Aplicando directamente Ward-Takahashi se obtiene un término de contacto para cada fermión externo, uno de los cuales tiene la forma $$\langle f | i \rangle \sim \int dx dx_1 \ldots \, \not\partial_1 \langle 0 | T e\psi(x_1) \ldots | 0 \rangle \delta(x - x_1) \propto \int dx_1 \ldots \, \not\partial_1 \ldots \langle 0 | T \psi(x_1) \ldots| 0 \rangle.$$ A diferencia del caso anterior, éste parece tener precisamente el tipo de estructura de polos adecuado; es exactamente lo que se obtendría si se aplicara la LSZ.

¿Qué me falta aquí? ¿Por qué no contribuye este término de contacto?

Answer 1

En primer lugar, las siguientes razones no son correctas.

• La contribución de la matriz S de dicho término de contacto puede estar conectados. Diagramáticamente, hemos contraído un fotón externo y un fermión externo juntos. Es totalmente posible que esto forme parte de un diagrama conectado.
• El número de campos es no incorrecto. Hay exactamente tantos campos de fermiones como con los que empezamos, y exactamente tantos $\not\partial$ factores.

El verdadero problema es que la ubicación del polo se ha desplazado por el término de contacto. Para ver esto, restauramos los factores exponenciales para $$\langle f | i \rangle \sim \int dx dx_1 \ldots \, e^{ikx} e^{ik_1 x_1} \ldots \not\partial_1 \langle 0 | T e\psi(x_1) \ldots | 0 \rangle \delta(x - x_1).$$ Evaluando la función delta, encontramos $$\langle f | i \rangle \sim \int dx_1 \ldots \, e^{i(k+k_1) x_1} \ldots \not\partial_1 \langle 0 | T e\psi(x_1) \ldots | 0 \rangle.$$ Esta es exactamente la fórmula de reducción de LSZ para una situación con un fermión externo con momento $k+k_1$ . La cuestión es que $k + k_1$ nunca es on-shell ya que requerimos $k_1$ para ser on-shell y $k^2 = 0$ para que no tengamos un $1/(k+k_1)$ polo de la función de correlación. En otras palabras, aunque la función de correlación tiene el número correcto de polos, no los tiene en los lugares correctos.