Representación integral de distribuciones templadas

Question

Después de mi entrada anterior Me ha picado la curiosidad por la siguiente pregunta muy sencilla (que parece que no encuentro la respuesta). Dada una distribución templada $K \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^{n_{1}+\cdots+n_{N}})$ No se puede decir que sea así: \begin {eqnarray} K( \varphi_ {1} \otimes\cdots\otimes\varphi_ {N}) = \int k(x_{1},...,x_{N}) \varphi_1 (x_{1}) \cdots\varphi_ {N}(x_{N})dx_{1} \cdots dx_{N} \tag {1} \label {1} \end {eqnarray} para algún núcleo integral $k$ y $\varphi_{j}\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n_{j}})$ ? Aquí $$ (\varphi_{1}\otimes \cdots \otimes \varphi_{N})(x_{1},...,x_{N}) := \varphi_1(x_{1})\cdots\varphi_{N}(x_{n}). $$

Answer 1

Dejemos que $\mathcal L$ sea un mapeo lineal continuo desde $\mathscr S(\mathbb R^n)$ en $\mathscr S'(\mathbb R^n)$ . El teorema del núcleo de Laurent Schwartz afirma que existe $K\in \mathscr S'( \mathbb R^n\times \mathbb R^n)$ tal que para todo $\phi, \psi\in \mathscr S(\mathbb R^n)$ $$ \langle\mathcal L\phi,\psi\rangle_{\mathscr S'(\mathbb R^n), \mathscr S(\mathbb R^n)} =\langle K,\phi\otimes\psi\rangle_{\mathscr S'(\mathbb R^{2n}), \mathscr S(\mathbb R^{2n})}. $$ Si $K$ resulta ser localmente integrable se obtiene efectivamente que $$ \langle K,\phi\otimes\psi\rangle_{\mathscr S'(\mathbb R^{2n}), \mathscr S(\mathbb R^{2n})} =\iint K(x,y) \phi(y) \psi(x) dx dy, $$ pero la mayoría de las veces $K$ será una distribución atemperada: toma $\mathcal L=Id$ , obtendrá $K=\delta_0(x-y)$ , toma $\mathcal L=\partial/\partial x_1$ , se obtiene $$ K=\delta'_0(x_1-y_1)\otimes \delta_0(x_2-y_2)\otimes\dots\otimes \delta_0(x_n-y_n). $$ Así que de alguna manera tu pregunta es tautológica: algunos autores prefieren usar el signo integral en lugar de los paréntesis de dualidad, pero ese recurso notacional no hace que todas las distribuciones sean localmente integrables, tienes dos ejemplos arriba.

En el KT de Schwartz destaca un punto entre otros: el núcleo $K$ es una distribución templada y esto es una similitud con los mapeos lineales de dimensión finita, un fuerte contraste por ejemplo con los mapeos lineales acotados de $L^2(\mathbb R^n)$ en sí mismo, que también tienen núcleos, pero en general mucho más singulares que $L^2(x,y)$ (se trata de operadores compactos, tipo Hilbert-Schmidt), pensemos por ejemplo en la transformada de Hilbert cuyo núcleo es $$ \text{pv}\frac{1}{x-y} $$ y está acotado en $L^2(\mathbb R)$ .

Answer 2

No, y un ejemplo sencillo es el siguiente: $$ \begin{split} K(\varphi_{1}\otimes\cdots\otimes\varphi_{N}) & =\left(\prod_{i=1}^{N}\prod_{k=1}^{n_i}\frac{\partial}{\partial x_k}\right)\varphi_1(0)\cdot\ldots\cdot\varphi_{N}(0)\\ & \triangleq\left(\prod_{i=1}^{N}\prod_{k=1}^{n_i}\frac{\partial}{\partial x_k}\right)\delta(x_1,\ldots,x_n)\quad x_k\in\Bbb R^{n_k}, k= 1,\ldots, N \end{split} $$ donde $\delta$ es la distribución habitual de Dirac en $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^{n_{1}+\cdots+n_{N}})$ . La distribución $K$ es entonces obviamente una distribución de Schwartz pero no es una medida, de forma similar al ejemplo $\text{(NIF)}$ en esta respuesta no lo es.

El teorema estándar del núcleo ([1] capítulo 1, §1.3 pp. 11-20 y §3.5 pp. 73-79) garantiza "sólo" que existe una distribución que hace el trabajo, pero no garantiza que exista una representación integral, aunque esto puede ser cierto para las $n$ -para funciones lineales en un espacio de funciones particular, o para funciones particulares en espacios de funciones generales: además, la representación integral puede no tener la forma \eqref {1}. Por ejemplo, en el caso de funcionales lineales una representación integral como una integral de contorno $$ f(\varphi)=\oint_\gamma v(z)\varphi(z)\mathrm{d}z\quad \varphi\in \mathscr{H\!\!o\!l}(D) $$ donde

• $v(z)$ es la indicatriz de Fantappiè del funcional, es decir, la función (en general meromorfa) $$ v(z)=f\left(\frac{1}{\zeta-z}\right)\quad(\zeta\text{ is the "inner" variable}) $$
• $\gamma\subset D\subseteq \Bbb C$ es una curva que encierra todas las singularidades de $v$ .

es válida para toda función analítica lineal $f\in\mathscr{O}^\prime\!(\Bbb C)$ . Y también hay representaciones "integrales" más generales (si se permite el núcleo $K$ para ser una medida de Radon) que incluyen grandes clases de funcionales lineales y funciones más generalizadas: por ejemplo, véase el artículo [2].

Referencias

[1] Gel'fand, I. M.; Vilenkin, N. Ya, Funciones generalizadas. Vol. 4: Aplicaciones del análisis armónico Traducido del ruso por Amiel Feinstein. (Inglés) Nueva York y Londres: Academic Press. XIV, 384 p. (1964), MR0173945 , Zbl 0136.11201 .

[2] Kaneko, Akira, "Representación de hiperfunciones por medidas y algunas de sus aplicaciones", (en inglés) Journal of the Faculty of Science, Section I A 19, 321-352 (1972), MR0336328 , Zbl 0247.35007 .

Answer 3

Este es un comentario ya que tu pregunta ha sido respondida pero será muy largo. A menudo, una primera versión de un resultado puede ser errónea, pero se puede retocar para obtener una formulación correcta. En tu caso, esto se cumple, es decir, la existencia de un núcleo $K$ que es $O(|x|^\alpha)$ para algún positivo $\alpha$ en el sentido clásico tal que su fórmula es válida pero con cada $\phi_i(x_i)$ sustituido por $D_i^{r_i}\phi_i(x_i)$ para algún índice $r_i$ . Si está interesado, puedo proporcionar referencias.