Intersección de imágenes inversas

Question

Dado $A$ y $B$ es el subconjunto de $C$ y $f:C\mapsto D$ , $$f(A\cap B)\subseteq f(A) \cap f(B)$$ y la igualdad se mantiene si la función es inyectiva.

Pero por qué para la inversa, supongamos que $E$ y $F$ es el subconjunto de $D$ , $$f^{-1}(E \cap F) = f^{-1}(E) \cap f^{-1}(F)$$ sin decir que la función inversa es inyectiva. Por tanto, si $$x\in f^{-1}(E) \cap f^{-1}(F)$$ $$x\in f^{-1}(E) \text{ and } x\in f^{-1}(F)$$ Esto significa que existen elementos $y_1 \in E$ y $y_2 \in F$ . Así que aquí cómo sabemos que estos dos elementos son iguales.

Soy un aprendiz independiente, así que espero que me expliquen con más detalle.

Answer 1

Prueba: $$x\in f^{-1}(E \cap F)\Leftrightarrow f(x)\in E\cap F\\\Leftrightarrow f(x)\in E \ and \ f(x)\in F\\\Leftrightarrow x\in f^{-1}(E) \ and \ x\in f^{-1}(F) \\ \Leftrightarrow x\in f^{-1}(E)\cap f^{-1}(F)\\$$ por lo que la igualdad se mantiene.

Answer 2

No se refieren a la inversa por $f^{-1}$ sino la preimagen bajo f. ¡Quizás una vez que hayas estudiado esa definición, sea más evidente!

Answer 3

La frase "Esto significa que existen elementos $y_1\in E$ y $y_2\in F$ "es incompleta. El mero hecho de que $y_1,y_2$ existe no es muy útil. Di qué propiedad tienen esos elementos y verás por qué son iguales.