Prueba de que un conjunto de $n$ enteros positivos es el conjunto de los primeros $n$ números enteros consecutivos

Question

El conjunto de la primera $n$ enteros consecutivos tiene suma $\frac{n(n+1)}{2}$ y el producto $n!$ .

Me gustaría demostrar lo contrario: Si un conjunto $S$ de $n$ enteros positivos tiene suma $\frac{n(n+1)}{2}$ y el producto $n!$ entonces $S$ es el conjunto de los primeros $n$ enteros consecutivos.

Answer 1

Ten en cuenta que sólo necesitas una de las sumas o productos para demostrar lo que quieres. Como son la suma o el producto mínimo de $n$ enteros positivos distintos, cualquier conjunto de $n$ con esta suma o producto debe ser la primera $n$ . Sólo una especie de $S$ y restar $1,2,3,4,\ldots n$ término por término. Si alguna de estas restas da un valor positivo, la suma será mayor que $\frac 12n(n+1)$

Answer 2

¿Esta pregunta no parece ser correcta? Si todos son positivos y distintos, es trivial. Si se permiten números repetidos, $1, 3, 3, 4, 4, 4, 7, 10$ es un contraejemplo para $n=8$ . Si se permiten números negativos, $-2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 16$ es otro contraejemplo para $n=8$ . Espero que mis cálculos no sean erróneos.

Answer 3

Me gustaría añadir que el argumento de la minimidad es bonito pero funciona porque has arreglado $n$ expresamente.

Si sólo buscamos conjuntos de número indeterminado de elementos cuya suma y producto sean $T_n$ y $n!$ entonces $\{1,2,..,n\}$ no es necesariamente la única solución, ¿qué pasaría si pudiéramos sustituir dos, tres o más elementos por uno solo?

La pregunta es si es posible tener $a+b=ab$ para dos enteros distintos ?

$a+b=ab\iff a=ab-b=a(b-1)$ si $a=0$ entonces $b=0$ y si $a\neq 0$ entonces $(b-1)=a/a=1$ así que $b=2$ y $a+2=2a\iff a=2$

Las únicas parejas son $(0,0)$ y $(2,2)$ pero no son distintos, así que estamos a salvo.

Pero esto no ha terminado, ¿qué pasa con $a+b+c=abc$ ? $\to$ Encontrar todas las soluciones integrales de $a+b+c=abc$ .

Esta vez, hay una solución en enteros positivos que es $(1,2,3)$

Así que $\{1,2,3,4,5\}$ y $\{4,5,6\}$ tendrían la misma suma y el mismo producto, pero por supuesto sólo el primero tiene $5$ elementos.

Y la cosa empeora con más elementos, porque no sólo tendríamos que mirar $a+b+c+d=abcd$ sino también a la agrupación de estos números de dos en dos, y así sucesivamente.