Esto no es diferente a la respuesta de François.
En primer lugar, veamos la descripción ingenua del orden de un cero/polo de una diferencial $\omega$ en $C$ en algún momento $p$ : escribir $\omega = f(z)\;dz$ en términos de alguna coordenada local $z$ cerca de $p$ y luego definir $\operatorname{ord}_p(\omega) = \operatorname{ord}_p(f)$ . Explícitamente, esto dice dos cosas:
- Toda diferencial es proporcional a la diferencial de una coordenada local, localmente;
- El diferencial de una coordenada local es regular donde se define.
Para que esto tenga sentido, hay que comprobar que para cualquier otra coordenada local $w$ la relación (derivada) $dw/dz$ es regular en $p$ . Por supuesto, es necesario algún cálculo algebraico preciso, pero intuitivamente, esto es sólo la afirmación de que ambos $z$ y $w$ tienen "pendiente 1" en $p$ por lo que son iguales al orden uno.
El hecho de tener que elegir una coordenada local es lo que te preocupa (también me preocupa a mí); se debe a que no hay una base imparcial de comparación, como ocurre con las funciones racionales, que puedes comparar simplemente con la función 1. La forma de evitar esto, que también te libera de la elección de coordenadas, es hablar de toda la gavilla de diferenciales en lugar de diferenciales individuales.
Definamos $\Omega_C$ para ser la gavilla de diferenciales regulares (Kähler) en $C$ como se define en cualquier libro de geometría algebraica básica. Usted me da $\omega$ una sección racional de $\Omega_C$ o, en otras palabras, un elemento de $\Omega_C(U)$ para algún conjunto abierto $U$ y queremos encontrar su divisor. Así es como replanteamos la primera parte de los cálculos anteriores:
- El hecho de que $\omega$ puede expresarse localmente en términos de funciones racionales significa que $\Omega_C$ es un haz de líneas (que lo es; las trivializaciones son elecciones de coordenadas locales).
¿Y la segunda parte? Continuemos: una sección de $\Omega_C(U)$ es lo mismo que un mapa $\phi \colon \mathcal{O}_C|_U \to \Omega_C|_U$ enviando la función racional 1 a la diferencial $\omega$ . Supongamos, por ejemplo, que $\omega$ sólo tenía ceros pero no polos; entonces alrededor de un punto $p \in C \setminus U$ , se vería como $z^n\;dz$ eligiendo una coordenada local, y por lo tanto, la imagen de $\phi$ parecería el ideal $(z^n) \subset \mathcal{O}_{C,p}$ . Más intrínsecamente, el cokernel de $\phi$ tendría una longitud $n$ en $p$ . Así, la convención que $dz$ es regular significa que:
- Cuando $\phi$ es una inclusión de las láminas, el orden de fuga de $\omega$ en $p$ es la longitud de $\operatorname{coker}(\phi)$ en $p$ .
Por supuesto, $\omega$ tiene polos, ya que dijo $C$ es apropiado. Así, $\phi$ ni siquiera se extiende a una inclusión de gavillas. Sin embargo, queremos pensar que un polo de algo es como un cero de la inversa, y sabemos cómo encontrar ceros. Supongamos que extendemos $\phi$ en la medida de lo posible, para que sus ceros se encuentren en $U$ forman el divisor de ceros:
$$D_Z = \operatorname{div}(\omega)_Z = \sum_p \ell(\operatorname{coker}(\phi)|_p)p$$
y reemplazar $\phi$ por su mapa inducido $\phi \colon \mathcal{O}_C(-D_Z)|_{U \setminus D_Z} \to \Omega_C|_{U \setminus D_Z}$ . Entonces este nuevo $\phi$ es un isomorfismo, y podemos invertirlo; los polos de $\phi$ son por definición los ceros de $\phi^{-1}$ . El divisor de polos $D_P = \operatorname{div}(\omega)_P$ definido como el divisor de los ceros de $\phi^{-1}$ es disjunta de $D_Z$ porque el nuevo $\phi$ ya es un isomorfismo en $D_Z$ para que, después de la torsión por $-D_P$ , $\phi^{-1}$ se extiende a todo de $C$ (deberías convencerte, jugando con los DVR, de que realmente lo hace). A continuación,
$$\operatorname{div}(\omega) = \operatorname{div}(\omega)_Z - \operatorname{div}(\omega)_P$$
es el divisor canónicamente definido de $\omega$ . La definición abreviada de este divisor es por tanto:
- $\operatorname{div}(\omega)$ es el único divisor $D$ tal que el mapa inducido $\phi \colon \mathcal{O}_C(-D)|_U \to \Omega_C|_U$ se extiende a un isomorfismo de haces de líneas.
Esto es lo que suele significar el divisor correspondiente a un haz de líneas. Nótese que nada de esto es particular de las formas diferenciales, sino que permite definir los ceros y polos de cualquier sección racional de cualquier haz de líneas.
