Es muy fácil de clasificar cuadrática extensiones $\rm\,E\,$ de un campo de $\rm\,F\,$ de los característicos $2.\:$ es decir, supongamos $\rm\:E = F(\alpha)\,$ donde $\,\alpha\,$ tiene un mínimo de polinomio $\rm\:f(x) = x^2 + bx - c\in F[x].\:$ La fórmula cuadrática ya no se aplica, es decir, no podemos cambiar las variables de $\rm\:x = \bar x - b/2\,$ a reducir, para el caso de $\rm\,b = 0,\,$, ya no se puede dividir por $\rm\:2 = 0.\:$ sin Embargo, podemos reducir todos los casos $\rm\:b\ne 0\:$ para el caso de $\rm\:b = 1\!:\:$ brecha $\rm\:f(x)\:$ $\rm\:b^2\:$ y deje $\rm\: y = x/b,\:$ es decir $\rm\:f(x)/b^2 = (x/b)^2 + x/b + c/b^2 = y^2 + y + c',\,\ c' = c/b^2.$ por lo tanto todos los cuadrática extensión de $\rm\,F\,$ es isomorfo a uno de los dos tipos siguientes.
Tipo $\rm1\!:\,\ b = 0\ \Rightarrow\ E = F[x]/(x^2-c)\, \cong\, F[\bar x] \,\cong\, F[\sqrt{c]}$
Tipo $\rm2\!:\,\ b\ne 0\ \Rightarrow\ E = F[ y]/( y^2+ y - c') \cong F[\bar y] $
Nunca isomorfo ($\rm\,F)$desde los elementos de tipo $1$ trazas $= 0,\,$, pero en los campos de tipo $2$ el elemento $\rm\,\bar y\,$ seguimiento $\rm= \bar y+\bar y' = -1.\:$ O, evitando de seguimiento: los elementos de la primera cuadradas $\rm\in F\,$$\rm\: (d + e \sqrt{c})^2 = d^2 + e^2c \in F\:$$\rm\:2 = 0,\:$, pero en el segundo $\rm\:\bar y^2\! = c' - \bar y \not\in F\,$ ( $\rm\,\bar y\in F).\:$