Cuadrática extensiones en el carácter $2$

Question

Hace poco vi en la clase que el grado $2$ extensiones de un campo de característica $\neq 2$ están dadas por las raíces cuadradas de los no-plazas en el campo base.

Me pregunto ¿qué sucede en el caso de la característica $2$ campos. Para finitos campos de la característica $2$, está claro lo que está pasando, pero ¿y los demás como $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})(X)$?

Answer 1

Hay dos tipos de extensiones cuadráticas en el carácter $2$.

La primera son los mismos que en otras características: a saber, si $\alpha \in F \setminus F^2$, $F(\sqrt{\alpha})$ es una ecuación cuadrática de la extensión. No es necesario que sea el caso de que cada elemento es un cuadrado en el carácter $2$. Esto ocurre si el campo $F$ es perfecto, así por ejemplo, si el campo es finito o algebraicamente cerrado. Para un ejemplo de un nonperfect campo, empezar con cualquier campo de $k$ de los característicos $2$ -- por ejemplo,$k = \mathbb{F}_2$, y tomar la $F = k(t)$, la función racional campo. A continuación, el elemento $t$ no es un cuadrado, por lo $F(\sqrt{t})/F$ es una ecuación cuadrática de la extensión. Estas extensiones cuadráticas se caracterizan por ser puramente inseparable.

(Más en general, un grado de $p$ de extensión en el carácter $p$ es puramente inseparable iff es de la forma $F(\alpha^{\frac{1}{p}})$ algunos $\alpha \in F \setminus F^p$.)

El segundo son los cuadrática de las extensiones que son separables y, por lo tanto cíclico de Galois de la orden de $2$. Dichas extensiones se obtuvieron como $K = F[t]/(t^2-t + \alpha)$ algunos $\alpha \in F$. Con el fin de obtener una extensión de campo se necesita el polinomio cuadrático para ser irreductible, que se produce iff $\alpha$ es no de la forma $x^2-x$ cualquier $x \in F$. Por ejemplo, el (único, hasta el isomorfismo) cuadrática extensión de $\mathbb{F}_2$ está dado por el polinomio $t^2-t + 1$.

(Más en general, de Artin-Schreier teoría obtiene todos los cíclico de Galois de grado $p$ extensiones en el carácter $p$ como raíces de Artin-Schreier polinomios $t^p - t + \alpha$. Esta es una bella teoría que parece extraño al principio, pero en muchas maneras a los trabajos más simples que los cíclico $p$ extensiones en el carácter diferente de $p$.)

Answer 2

Es muy fácil de clasificar cuadrática extensiones $\rm\,E\,$ de un campo de $\rm\,F\,$ de los característicos $2.\:$ es decir, supongamos $\rm\:E = F(\alpha)\,$ donde $\,\alpha\,$ tiene un mínimo de polinomio $\rm\:f(x) = x^2 + bx - c\in F[x].\:$ La fórmula cuadrática ya no se aplica, es decir, no podemos cambiar las variables de $\rm\:x = \bar x - b/2\,$ a reducir, para el caso de $\rm\,b = 0,\,$, ya no se puede dividir por $\rm\:2 = 0.\:$ sin Embargo, podemos reducir todos los casos $\rm\:b\ne 0\:$ para el caso de $\rm\:b = 1\!:\:$ brecha $\rm\:f(x)\:$ $\rm\:b^2\:$ y deje $\rm\: y = x/b,\:$ es decir $\rm\:f(x)/b^2 = (x/b)^2 + x/b + c/b^2 = y^2 + y + c',\,\ c' = c/b^2.$ por lo tanto todos los cuadrática extensión de $\rm\,F\,$ es isomorfo a uno de los dos tipos siguientes.

• Tipo $\rm1\!:\,\ b = 0\ \Rightarrow\ E = F[x]/(x^2-c)\, \cong\, F[\bar x] \,\cong\, F[\sqrt{c]}$

• Tipo $\rm2\!:\,\ b\ne 0\ \Rightarrow\ E = F[ y]/( y^2+ y - c') \cong F[\bar y]$

Nunca isomorfo ($\rm\,F)$desde los elementos de tipo $1$ trazas $= 0,\,$, pero en los campos de tipo $2$ el elemento $\rm\,\bar y\,$ seguimiento $\rm= \bar y+\bar y' = -1.\:$ O, evitando de seguimiento: los elementos de la primera cuadradas $\rm\in F\,$$\rm\: (d + e \sqrt{c})^2 = d^2 + e^2c \in F\:$$\rm\:2 = 0,\:$, pero en el segundo $\rm\:\bar y^2\! = c' - \bar y \not\in F\,$ ( $\rm\,\bar y\in F).\:$