Demostrando que $\frac{\mathbb{R}[x]}{\langle x \rangle}$ y $\frac{\mathbb{R}[x]}{\langle x-1 \rangle}$ no son isomorfos ya que $\mathbb{R}[x]$ módulos.

Question

Estoy tratando de resolver un ejercicio que me pide que demuestre que $\frac{\mathbb{R}[x]}{\langle x \rangle}$ y $\frac{\mathbb{R}[x]}{\langle x-1 \rangle}$ son isomorfos como anillos, pero no como $\mathbb{R}[x]$ módulos.

Es fácil demostrar que son isomorfos como anillos - puedes hacerlo directamente o utilizar el primer teorema de isomorfismo para anillos para demostrar que ambos son isomorfos a $\mathbb{R}$ .

Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrar que no son isomorfos como módulos; parece natural intentar demostrarlo por contradicción, pero si asumo que hay un isomorfismo me cuesta ver de dónde viene la contradicción.

Su ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Pista: ¿qué es $x \cdot 1$ en cada uno de ellos?