Cuando dos fracciones vecinas en la secuencia de Farey están ordenadas de forma similar

Question

Estoy probando ejercicios de Tom M Apostol y no pude pensar en este problema en el capítulo 5.

El problema es - Dos fracciones reducidas $a/b$ y $c/d$ se dice que están ordenados de forma similar si $(c-a)\times(d-b)\ge0$ . Demostrar que dos fracciones vecinas cualesquiera $\frac{a_i}{b_i}$ y $\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}}$ están ordenados de forma similar.

Mi intento - he intentado usar el resultado - para dos fracciones de Farey consecutivas cualesquiera $a/b<c/d$ , $bc-ad=1$ se mantiene y luego usando la definición de fracciones de orden similar. Pero no da resultado cuando $b\neq d$ .

¿Puede alguien ayudar, por favor?

Answer 1

$a_{i + 1}b_i - a_ib_{i + 1} = 1$ es, en efecto, la identidad correcta que hay que mirar.

Tenga en cuenta que, como $\frac{a_i}{b_i} < \frac{a_{i + 1}}{b_{i + 1}}$ La única manera es $(a_{i + 1} - a_i)(b_{i + 1} - b_i) \ge 0$ podría fallar es si $a_{i + 1} \ge a_i + 1$ y $b_{i + 1} \le b_i - 1$ . Pero entonces tendríamos $$a_{i + 1}b_i - a_ib_{i + 1} \ge (a_i + 1)b_i - a_i(b_i - 1) \ge a_i + b_i > 1$$ que es una contradicción.

Answer 2

Las fracciones de Farey no negativas pueden obtenerse partiendo de $\frac01,\frac11,\frac21,\ldots$ (donde la afirmación es claramente válida) y luego insertar repetidamente $\frac{a+c}{b+d}$ entre fracciones adyacentes $\frac ab$ y $\frac cd$ . Cerca de una fracción insertada, tenemos $$((a+c)-a)\cdot ((b+d)-b)=cd\ge 0$$ y $$(c-(a+c))\cdot (d-(b+d))=ab\ge0.$$

Answer 3

La igualdad $a_{i + 1}b_i - a_ib_{i + 1} = 1$ o el hecho de que las secuencias de Farey se pueden generar insertando $\frac{a+c}{b+d}$ son hechos demasiado poderosos y difíciles para un ejercicio tan fácil. Además, esta relación es válida no sólo para las fracciones consecutivas de Farey:

Dejemos que $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\le\frac{a+1}{b}$ entonces $(c-a)\times(d-b)\ge0$ obviamente se mantiene.