encontrar una función dada una pendiente y un punto

Question

Necesito encontrar la función $f(x)$ que es tangente a una recta cuya pendiente viene dada por $\displaystyle \frac{(1+\sqrt x)^{\frac{1}{2}}}{8\sqrt x}$ que pasa por el punto $(9,8/9)$ .

Realmente no sé qué hacer con esto. Traté de encontrar el límite pero eso no ayudó y no pude hacer la naturaleza compleja de la misma. Realmente espero que alguien pueda ayudar a darme un poco de claridad sobre qué hacer con este problema.

Answer 1

La pendiente de una tangente a su función viene dada por:

$$f'(x)=\displaystyle \frac{(1+\sqrt x)^{\frac{1}{2}}}{8\sqrt x}$$

Así, para retirar la función integramos:

$$f(x)=\int \displaystyle \frac{(1+\sqrt x)^{\frac{1}{2}}}{8\sqrt x} dx$$

Pruebe la sustitución $u=1+\sqrt{x}$

Obtendrá $f(x)=g(x)+c$

Enchufar $x=9$ , $y=f(x)=\frac{8}{9}$ y resolver para $c$

$$ \int \displaystyle \frac{(1+\sqrt x)^{\frac{1}{2}}}{8\sqrt x} dx=\int \frac{u^{1/2}}{4} du=\frac{u^{3/2}}{6}+c=\frac{(1+\sqrt{x})^{3/2}}{6}+c $$ $$\frac{8}{9}=\frac{(1+\sqrt{9})^{3/2}}{6}+c$$ $$\frac{8}{9}=\frac{8}{6}+c$$ $$\frac{8}{9}=\frac{4}{3}+c$$ $$\frac{8}{9}=\frac{12}{9}+c$$ $$-\frac{4}{9}=c$$ $$f(x)=\frac{(1+\sqrt{x})^{3/2}}{6}-\frac{4}{9}$$